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Sur les surfaces dont les lignes asymptotiques appartiennent par leurs tangentes à un complexe linéaire. (French) JFM 42.0634.04
Der Verf. greift das Problem direkt an, ohne es durch die Liesche Berührungstransformation auf die bekannte Bestimmung der Flächen mit sphärischen Krümmungslinien zurückzuführen. Es ist ihm also entgangen, daß eine solche direkte Lösung bereits von Lie angedeutet und von Arnold Peter in einer Leipziger Dissertation ausgeführt worden ist (Archiv for Math. og Naturvid. 17; F. d. M. 26, 708, 1895). Der Verf. betrachtet zunächst die Flächen, bei denen die Haupttangentenkurven der einen Schar solchen linearen Komplexen angehören, deren Achsen einander parallel sind und in einer Ebene liegen. Die Haupttangentenkurven der zweiten Schar besitzen dann dieselbe Eigenschaft; die Achsen ihrer Komplexe liegen in derselben Ebene und stehen auf den Achsen der ersten senkrecht. Man kann alle diese Flächen angeben. Unter ihnen steckt die Ennepersche Minimalfläche und eine andere bemerkenswerte Minimalfläche. Das allgemeine Problem behandelt der Verf mit Hülfe der Laplaceschen Formeln, die aus drei bekannten Lösungen einer Laplaceschen Gleichung: \(\vartheta_{uv}=\varkappa(u,v) \cdot \vartheta\) eine Flache herzustellen gestatten die auf ihre Haupttangentenkurven: \(u\)=konst. und \(v\)=konst. bezogen ist. Die Bedingung dafür, daß z. B. die Kurven \(v\)=konst. linearen Komplexen angehören, drückt sich durch eine einfache Beziehung zwischen jenen drei Lösungen der Laplaceschen Gleichung aus. Es ergibt sich so eine Klassifikation der in Rede stehenden Flächen nach der Beschaffenheit der allgemeinsten Lösung der zugehörigen Laplaceschen Gleichung. Den Schluß der Arbeit bildet die Anwendung der Lieschen Berührungstransformation.

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Full Text: DOI Numdam EuDML