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Konforme Abbildung der Oberfläche einer räumlichen Ecke. (German) JFM 42.0709.01

Math. Ann. 71, 184-205 (1912); auch Sonderdruck (Habilitationsschrift). Leipzig: B. G. Teubner. 24 S. 8\(^\circ\) (1911).
Zum Nachweis der Existenz der eindeutigen algebraischen Funktionen und ihrer Integrale auf einer gegebenen geschlossenen Riemannschen Fläche hat man die kombinatorische Methode von Neumann-Schwarz und die schon von Riemann verwendete, von Hilbert aber erst streng begründete Methode des Dirichletschen Prinzips. Während die erstere bereits für den Fall ausgebildet wurde, daß die Riemannsche Fläche nicht einfach mehrblättrig über der Ebene ausgebreitet oder als durchaus reguläre Fläche im Raum liegend vorgestellt wird, sondern man es mit einer Riemannschen Mannigfaltigkeit im allgemeinen Sinne von Klein zu tun hat, ist das mit der letzten Methode bisher noch nicht der Fall, sondern bildet vielmehr den Gegenstand eines Teiles der Arbeit. Wird angenommen, die Riemannsche Mannigfaltigkeit bestehe aus einer endlichen Anzahl verschiedener Flächenstücke, welche, längs Kanten und Ecken zusammenstoßend, eine geschlossene Fläche bilden, so handelt es sich wesentlich um den Nachweis, daß ein einen Eckpunkt im Innern enthaltendes Flächenstück konform - im Eckpunkte selbst nur stetig - auf einen schlichten ebenen Bereich abgebildet werden kann. Dieses im Jahre 1870 von Schwarz gestellte Abbildungsproblem, welches Schwarz selbst nur in dem speziellen Falle einer von lauter Ebenen oder kugelförmigen Flächenstücke gebildeten Ecke gelöst hatte, wurde zum erstenmal allgemein (für analytische Flächenstücke) von P. Koebe im Zusammenhang mit der von ihm entwickelten allgemeinen Abbildungstheorie gelöst (Gött. Nachr 1908). Koebe löste das gestellte Problem dadurch, daß er zunächst die unmittelbare Umgebung des Eckpunktes, diesen selbst ausgeschlossen, eineindeutig konform auf ein schlichtes (zweifach zusammenhängendes) Gebiet abbildete, welches etwa als Kreisring normiert gedacht werden kann. Es gilt dann, was der wesentlich leichtere Teil der Untersuchung ist, nachträglich noch zu zeigen, daß der eine Begrenzungskreis sich auf einen Punkt reduziert. Diese Gedankenfolge wird auch von König innegehalten, der sich auch sonst wesentlich auf vorausgegangene Entwicklungen Koebes stützt, so namentlich beim Nachweise, daß die gefundene Minimalfunktion die Abbildung auf einen schlichten Bereich (Schlitzbereich) tatsächlich leistet.

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References:

[1] Zur Litteratur des Problems siehe: H. A. Schwarz, Über die Integration der partiellen Differentialgleichung ?u=0 unter vorgeschriebenen Grenz- und Unstetigkeitsbedingungen, Monatsber. d. K. Akademie d. Wiss. zu Berlin 1870, S. 767?795 ?Ges. Math. Abhandlungen, Bd. II, S. 144?171, insbes. S. 167; P. Koebe,Konforme Abbildung der Oberfläche einer von endlich vielen analytischen Flächenstücken gebildeten körperlichen Ecke auf die schlichte ebene Fläche eines Kreises, Nachr. d. K. Ges. d. Wiss. zu Göttingen, Math. phys. Klasse, 19. Dez. 1908, S. 359?360; R. König, Konforme Abbildung der Oberfläche einer räumlichen Ecke, ebenda, 26. Febr. 1910; letztere Note ist eine Anzeige der vorliegenden Arbeit des Verfassers.
[2] Hilbert, Über das Dirichletsche Prinzip, Math. Ann. 59 (im folgenden kurz ?Hilbert, I? zitiert).
[3] Neue Beiträge zur Riemannschen Funktionentheorie, Math. Ann. 21, insbes. § 1 und § 6. Siehe auch F. Klein, ?Riemannsche Flächen?, I, S. 32.
[4] Hilbert, Zur Theorie der konformen Abbildung, Nachr. d. K. Ges. d. Wiss. zu Göttingen, Math. phys. Klasse, 17. Juli 1909. (Im folgenden kurz ?Hilbert, II? zitiert.) Daselbst findet man eine Zusammenstellung der Litteratur über das Dirichletsche Prinzip. S. auch Conrant, Zur Begründung des Dirichletschen Prinzips, Gött. Nachr. 1910, S. 154?160.
[5] Man vgl. Bianchi, Vorlesungen über Differentialgeometrie, Deutsch von M. Lukat, 1. Aufl., Kap. III, S. 67?72. Darboux, Théorie générale des surfaces, Bd. III, S. 193?217. Beide Werke werden im folgenden kurz ?Bianchi? bezw. ?Darboux? zitiert.
[6] Darboux, Bd. III, S. 195, Formel 7.
[7] Dieselbe ist eine unmittelbare Folge der Definition der ?konjugierten? Funktion (Bianchi, S. 69, Formel 21) und kann z. B. aus den in Darboux, Bd. III, S. 198?199 gegebenen Formeln ohne weiteres entnommen werden, indem in der dortigen Bezeichnungsweise (S. 198, Formel 14 und S. 199, zweite Formel von unten) $$d\(\backslash\)psi = \(\backslash\)frac{{\(\backslash\)partial \(\backslash\)psi }}{{\(\backslash\)partial u}}du + \(\backslash\)frac{{\(\backslash\)partial \(\backslash\)psi }}{{\(\backslash\)partial v}}dv = - Ndu + Mdv = - \(\backslash\)frac{{\(\backslash\)partial \(\backslash\)varphi }}{{\(\backslash\)partial n}}ds.$$
[8] Während die Bemerkung betreffend die Möglichkeit der konformen Abbildung eines nicht analytischen Flächenstücks, welche man in Darboux, Bd. IV, S. 367, Note I von Picard, findet, nicht richtig ist, ist es auf Grund der folgenden Arbeiten von E. E. Levi in der Tat ohne weiteres möglich, diese Abbildung für die Umgebung einesgewöhnlichen Punktes zu leisten: ?Sulle equazioni lineari totalmente ellitiche alle derivate parziali?, Rend. d. Circ. Mat. di Palermo 24 (1907); ?I problemi dei valori al contorno etc.?, Memorie d. Società Italiana delle Scienze, Serie 3a, 16. Für die ganze übrige Methode macht es übrigens keinen Unterschied aus, ob die Flächenstücke analytisch sind oder nicht. Wegen der Abbildung nicht analytischer Flächenstücke sei noch auf eine demnächst in den Ber. d. Berliner Akademie erscheinende Abhandlung des Herrn L. Lichtenstein hungewiesen.
[9] Darboux, Bd. II, S. 412?414.
[10] Darboux, loc. cit. Bd. II, S. 412?414.
[11] ?Hilbert, II?, S. 316?317.
[12] S. ?Hilbert, I? § 7.
[13] ?Hilbert, I? § 5.
[14] ?Über eine neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik?, J. f. Math. 135, § 13 u. 14.
[15] S. ?Hilbert, I? § 9.
[16] ?Hilbert, I? § 7.
[17] W. Ritz, loc. cit. § 14.
[18] Derselbe wäre natürlich auch indirekt, analog dem Hilbertschen Beweise (?Hilbert, I? § 9) zu führen.
[19] Vgl. auch die beiden folgenden Arbeiten von E. Fischer und F. Riesz, wo sich Überlegungen ähnlicher Art finden: E. Fischer, Sur la convergence en moyenne; C. R., 13. Mai 1907, S. 1023ff.; F. Riesz, Systeme integrierbarer Funktionen, Math. Ann. 69 (1910), § 6.
[20] Dieselbe ist mit (40) identisch, falls die KurveC außerhalb ?0 verläuft ?vgl. Abschnitt 5. Man überzeugt sich jedoch leicht, daß dieselbe auch bestehen bleibt, wennC ganz oder teilweise innerhalb ?0 verläuft; vgl. eine diesbezügliche Bemerkung bei P. Koebe, Über die Uniformierung beliebiger analytischer Kurven, 4. Mitteilung, Gött. Nachr. 1909, S. 333.
[21] Vgl. P. Koebe, a. (in der letzten Anmerkung) a. O. Über die Uniformierung beliebiger analytischer Kurven, 4. Mitteilung, Gött. Nachr. 1909, S. 334.
[22] Über die Hilbertsche Uniformisierungsmethode, Göttinger Nachr. 1910. S. 59?74. Vgl. insbes. S. 68?73. Siehe auch die Dissertation von R. Courant, Über die Anwendung des Dirichletschen Prinzipes auf die Probleme der konformen Abbildung. Göttingen 1910 (abgedruckt in diesem Bande der Math. Ann.).
[23] Vgl. die Definition im Abschnitt 2.
[24] Vgl. P. Koebe, Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven IV, a. a. O. 4. Mitteilung, Gött. Nachr. 1909, S. 339?340.
[25] Vgl. P. Koebe, am letztgenannten Ort und R. Courant, Zur Begründung des Dirichletschen Prinzipes, Göttinger Nachr. 1910, S. 156.
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