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Über die Mechanik des deformierbaren Körpers vom Standpunkte der Relativitätstheorie. (German) JFM 42.0863.02
Die Annahme, von der die Betrachtungen ausgehen, ist in Verfolgung der von M. Planck in seinen Arbeiten (F. d. M. 38, 718, 1907) über das Prinzip der kleinsten Wirkung eingeschlagenen Richtung die, daß für die Bewegung des Körpers ein kinetisches Potential existiert, welches erstens den Lorentz Transformationen gegenüber invariant (bei homogener Schreibweise) ist, und sich zweitens im Falle der Ruhe auf eine gegebene Funktion der Deformationen und der Entropie des einzelnen Volumenelementes reduziert; hierdurch ist sofort auch sein allgemeiner Ausdruck bestimmt (\(\S\) 5). Insbesondere erhellt, daß im Falle der Bewegung die Ruhedeformationen (\(\S\S\) 1, 2) maßgebend sind, die jene Deformationen, welche das Volumenelement nach Rückgängigmachung der seiner Geschwindigkeit entsprechenden Lorentz - Kontraktion gegen seine Normalgestalt aufweist.
Aus der ersten Variation dieses kinetischen Potentials fließen sofort die Bewegungsgleichungen, zunächst in der Lagrangeschen (\(\S\) 6), dann in der Eulerschen Form (\(\S\) 7). In der letzteren sind sie formal mit jenem System identisch, das M. Abraham an die Spitze seiner Untersuchungen über die Elektrodynamik bewegter Körper gestellt hat; aus dieser Vergleichung ist die Bedeutung der in ihnen auftretenden 16-gliedrigen Matrix zu entnehmen. Die 10 Relationen (\(\S\) 7), die die Symmetrieeigenschaften jener Matrix und die Verknüpfung von Impuls, Energie und Spannung untereinander zum Ausdruck bringen, ergeben sich als das vollständige System partieller Differentialgleichungen (\(\S\) 3), denen das kinetische Potential zufolge seiner durch die beiden obigen Annahmen bedingten Form genügen muß.
Der zehngliedrigen Gruppe von “Bewegungen” im \((x, y, z, t)\)-Raum entsprechend, gelten für die Bewegung des ganzen Körpers 10 allgemeine Integrale (\(\S\) 9), und zwar den 4 Translationen entsprechend die 3 Impulssätze und der Energiesatz, den 6 Drehungen entsprechend aber einmal die 3 Flächensätze, und dann 3 weitere, diesen (zufolge der Gleichberechtigung von \(x, y, z, t\)) völlig analog gebildete Gleichungen, die mit den einmal integrierten Schwerpunktsätzen der klassischen Mechanik in Parallele zu setzen sind. Für kräftefrei adiabatische Bewegungen insbesondere folgt aus ihnen, daß sich der Energiemittelpunkt (der hier den Massenmittelpunkt vertritt) geradlinig gleichförmig bewegt, und daß seine mit der Gesamtenergie multiplizierte Geschwindigkeit den Gesamtimpuls liefert.
Hängt das Ruhepotential nur von Entropie und Volumen ab, so erhält man den Fall einer idealen Flüssigkeit mit allseitig gleichem Druck (\(\S\) 10), und aus der Weberschen Form der hydrodynamischen Gleichungen folgen die Helmholtz schen Sätze über Wirbelbewegungen für die Hydrodynamik der Relativitätstheorie (\(\S\) 11).
Knüpfen die Betrachtungen des ersten Teiles an die erste Variation des kinetischen Potentials an, so sind die des zweiten über den Trägheitswiderstand und die Wellenmechanik von der zweiten Variation desselben abhängig. Für das einzelne Volumenelement hängen die Komponenten des Trägheitswiderstandes mit den Komponenten der ihn weckenden Beschleunigung durch eine lineare Transformation mit symmetrischer Determinante zusammen, deren 6 Koeffizienten als die Trägheitskoeffizienten oder Massendichten an der betreffenden Körperstelle bezeichnet werden können. Will man nun nicht in jeder Richtung der gewöhnlichen Auffassung völlig entgegengesetzte Verhältnisse finden, so muß dem Postulate positiver Massen in der klassischen Mechanik analog die Forderung gestellt werden, daß die mit den 6 Trägheitskoeffizienten gebildete quadratische Form \(\varGamma\) (die zweite Variation des kinetischen Potentials nach der Geschwindigkeit) definit positiv sein soll, oder daß, anschaulich ausgedrückt, der Trägheitswiderstand stets einen stumpfen Winkel mit der Beschleunigung bilden soll (\(\S\) 1).
Die Gesetze der Wellenmechanik werden (\(\S\) 4) durch eine andere quadratische Form \(W\) (die vollständige zweite Variation des kinetischen Potentials) geliefert, und es erweisen sich nun die beiden Formen \(\varGamma\) und \(W\) auf Grund ihrer Darstellungen (\(\S\S\) 2, 3, 5) als wechselweise auseinander ableitbar. Hieraus folgt, daß die an den Trägheitswiderstand gestellte Forderung die Unmöglichkeit von Wellen mit Überlichtgeschwindigkeit nach sich zieht, hierzu aber auch wirklich notwendig ist (\(\S\) 6).
Reduzieren sich die 6 Trägheitskoeffizienten auf nur 2 (einen longitudinalen und einen transversalen), so sind in dem Körper nur Longitudinal- und Transversalwellen mit nach allen Richtungen gleicher Fortpflanzungsgeschwindigkeit möglich, und umgekehrt (\(\S\) 7). Die beiden Trägheitskoeffizienten und die beiden Wellengeschwindigkeiten sind wechselweise auseinander ableitbar.
Diese speziellen Verhältnisse sind bei der idealen Flüssigkeit (bei der aber die Geschwindigkeit der Transversalwellen Null wird) und bei dem elastischen isotropen Körper (\(\S\) 9) für verschwindende Ruhedeformationen realisiert. Bei letzterem ergibt die an den Trägheitswiderstand gestellte Forderung obere, durch die Ruhemassendichte gegebene Grenzen für die beiden Elastizitätskoeffizienten.

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