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Étude géométrique de la torsion et de la flexion dans la déformation infinitésimale d’un milieu continu. (French) JFM 42.0869.02

Barré de Saint-Venant hat in seinen berühmten Abhandlungen über die Torsion und die Biegung besonders den Standpunkt der Statik festgehalten, als er die Deformationen aufsuchte, die aus gewissen Kräfteverteilungen folgen. Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist ein ganz anderes. Ich befasse mich allein mit dem geometrischen Studium der Deformationen ohne irgendwelche Rücksicht auf Statik oder Dynamik. Die Torsion und die Biegung existieren nicht bei der homogenen Deformation. Ihre analytische Darstellung in der Umgebung eines Punktes hängt von den zweiten Derivierten der Verrückungen ab. Differentialelemente zweiter Ordnung sind es also, deren Rolle vielleicht mit derjenigen der Krümmung in der Theorie der Oberflächen zu vergleichen ist. Die Dilatation und die mittlere Rotation sind dagegen Elemente erster Ordnung wie die Tangentialebene und das Linienelement in der Geometrie. Mich hat bedünkt, daß die Kenntnis der notwendigen Gesetze in der Verteilung der Deformationen zweiter Ordnung eine ebenso nützliche Einleitung in das Studium der Mechanik der kontinuierlichen Medien sein dürfte wie die Kenntnis der Krümmungselemente für das Studium der Punktmechanik. Zum Überfluß hat sich herausgestellt, daß diese Theorie neben ihrem praktischen Nutzen ein eigenes Interesse in der einfachen Art besitzt, wie die Resultate sich gruppieren und beiordnen. Ich habe vornehmlich die infinitesimalen Deformationen im Auge gehabt; aber die meisten Rechnungen und Methoden lassen sich auch ohne große Wandlungen auf den Fall endlicher Deformationen anwenden.”
I. Die Torsion, 1. Definition und Berechnung der Torsion. 2. Die Torsion bei den infinitesimalen Deformationen. 3. Ausdruck für die sechs Komponenten der Torsion. 4. Zerlegung der derivierten Rotation. 5. Indikatrix der Torsionen 6. Zweite Definition. 7. Anwendung auf das de Saint-Venantsche Problem.
II.Verkrümmung und Biegung. 8. Verkrümmung der Fasern. 9. Die figürliche Rotation der Krümmung. 10. Zerlegung der Kurve. 11 Definition der Biegung. 12. Auf die Biegung bezügliche geometrische Elemente. 13. Zusammensetzung der Biegungen. 14. Abschweifung auf eine Transformation durch reziproke Radien für die Zusammensetzung der Vektoren. 15. Die Biegung, als Rotation einer Rotation betrachtet. 16. Erste Zerlegung. 17. Torsionsbiegung und zyklische Biegung. 18. Komponenten der zyklischen Biegung. 19. Die drei Grundformen. 20. Die drei unabhängigen Biegungen. 21. Bemerkung. 22. Neue Gestalt einiger Formeln.
III. Spezielle Eigenschaften der verschiedenen Biegungen. 23. Ermittlung der Torsionsbiegung. 24. Mittelpunktsfläche bei der Torsionsbiegung. 25. Die zyklische Biegung. 26. Biegung zweiter Dilatation. 27. Die sieben Inflexionslinien. 28. Mittlere Biegung. 29. Deformationen ohne Torsion. 30. Homogene zyklische Biegung. 31. Ebene Biegung des de Saint-Venantschen Problems.
IV. Verbiegung der Oberfläche. 32. Normale Biegung und geodätische Biegung. 33. Studien der normalen Biegung. 34. Komponenten der normalen Biegung. 35. Charakteristische Ebenen einer Faser. 36. Brennpunkte der Achsenkongruenz. 37. Totale Normalverkrümmung. 38. Geodätische Biegung. 39. Ebenen, für welche die geodätische Biegung durch Rotation Null ist. 40. Auf die Biegung durch Rotation bezügliche Inflexionslinien. 41. Anwendung auf ein Problem von Darboux und von Weingarten.

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