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Über den Satz von Budan-Fourier. (German) JFM 43.0146.01
Der Satz von Budan-Fourier ist in den meisten Lehrbüchern der Algebra ungenau oder direkt falsch formuliert. Die exakte Formulierung lautet: Es bedeute \(N\) die Anzahl der Wurzeln der reellen Gleichung \(n\)-ten Grades \(f(x) = 0\), die dem Bereiche (1) \(a < x\leqq b\) angehören, also der in das Intervall \((a\ldots b)\) fallenden Wurzeln, wobei die obere Grenze mit zum Intervall gerechnet wird, die untere aber nicht. Dabei ist jede Wurzel nach ihrer Vielfachheit zu zählen. Es sei ferner \(W(x)\) die Anzahl der Zeichenwechsel, welche die Reihe der Funktionswerte \[ f(x),f'(x),\ldots, f^{(n)}(x) \tag{2} \] darbietet, mit der Bestimmung, daß bei der Abzählung dieser Zeichenwechsel etwa verschwindende Glieder der Reihe (2) einfach übergangen werden sollen. Dann gilt die Gleichung \[ N=W(a)-W(b)-2\nu, \tag{3} \] unter \(\nu\) eine nichtnegative ganze Zahl verstanden.
Verf. folgert dieses Theorem aus einem allgemeineren, bisher nicht bekannten Satze, den er durch wiederholte Anwendung des Rolleschen Theorems beweist. Der Satz hat folgenden Wortlaut:
Die Funktion \(f(x)\) sei in dem Intervall \(a\leqq x\leqq b\) reell und regulär; ferner sei die \(r\)-te Ableitung, \(r\geqq 1\), der Funktion für \(x = a\) und \(x = b\) von Null verschieden. Zwischen den Anzahlen \(N\) und \(N^{(r)}\) der Nullstellen von \(f(x)\) und \(f^{(r)} (x)\) im Bereiche \(a < x\leqq b\) besteht dann die Beziehung \[ N = N^{(r)} + W (a) - W(b) - 2\mu, \] unter \(W(a)\) und \(W(b)\) die Anzahl der Zeichenwechsel verstanden, welche die Reihe \[ f(x),f'(x),\ldots,f^{(r)}(x) \] für \(x = a\) und \(x = b\) darbietet, wobei etwa verschwindende Glieder der Reihe als nicht vorhanden betrachtet werden. Die Zahl \(\mu\) ist eine nichtnegative ganze Zahl. – Ist \(f(x)\) eine ganze Funktion \(n\)-ten Grades, und setzt man \(r=n\), so erhält man gerade das Budan-Fouriersche Theorem in der oben mitgeteilten Form. – Verf. leitet außerdem noch einige weitere, in ähnlicher Richtung liegende Resultate her.

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References:
[1] In anderer Weise haben Laguerre (Oeuvres I, p. 4) für die Descartessche Regel und K. Petr (Casopis, 36, S. 49) für den Budanschen Satz das Rollesche Theorem benutzt. Von der letzteren, tschechisch geschriebenen Arbeit war mir nur das Referat in Bd. 38, S. 121 des Jahrbuchs über die Fortschritte der Mathematik zugänglich.
[2] Oeuvres I, S. 67 ff. (Paris, 1898).
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