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Recherches sur la theorie des équations. (French) JFM 43.0158.01

Die Untersuchungen des Verf. streben letzten Endes dem Ziele zu, teils durch Verallgemeinerung bekannter Sätze über algebraische Gleichungen auf transzendente Gleichungen, teils durch Aufstellung neuer Sätze über transzendente Gleichungen an das Riemannsche Problem über die Nullstellen der \(\zeta\)-Funktion heranzukommen. Wesentlich ist für den Verf. der Begriff des “Typus” einer reellen algebraischen oder transzendenten Gleichung. Darunter wird die Anzahl der Paare konjugierter komplexer Nullstellen verstanden. Mit Hülfe dieses Begriffes und einer bei englischen Mathematikern vielfach üblichen Symbolik gelingt es dem Verf., eine Reihe bekannter Sätze von Waring, Poulain, Laguerre, E. Malo teils einfacher zu beweisen, teils auf ganze transzendente Funktionen auszudehnen. Andererseits wird’ eine Reihe neuer Sätze über den Typus ganzer transzendenter Funktionen aufgestellt. Aus der Gesamtheit der interessanten und überraschend einfach abgeleiteten Sätze greifen wir folgenden heraus: Sei \(F(z)\) eine ganze Funktion des Geschlechtes 0 oder 1 der Variabein \(z=x+iy\), dann ist die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß \(F(z)\) vom Typus Null ist, das Bestehen der Beziehung \[ \frac{\partial}{\partial y}|F(z)|^2>0 \] in der oberen Halbebene.

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References:

[1] Je me sers toujours du terme “racines imaginaires{” pour désigner des racines complexes et non réelles.}
[2] Pour être applicables dans tous les cas, les observations ci-dessus doivent être entendues de la manière suivante: sif(x) a 0 ou 1 racines réelles, nous convenons de dire quef’(x) en a normalement ou 0.
[3] On se gardera de confondre cette notation avec celle de la page précédente.
[4] SiF est du genre 1,c n est fixe, mais siF est du genre 0, \(c_n = - \sum\limits_{\nu = 1}^n {\frac{1}{{\alpha _\nu }}} \) .
[5] Je suppose qu’on connaît les règles les plus élémentaires pour le calcul des opérations distributives.
[6] Journal de Mathématiques spéciales, 4:e série, t. IV, 1895.
[7] Cette proposition semble peu connue. Elle a été découverte de nouveau un nombre de fois par différents mathématiciens.
[8] Acta Mathematica, t. IV, 1884 et Journal de Mathématiques pures et appliquées, 3:e série, t. IX, 1883; Oeuvres, I pp. 202 et 35.
[9] Le cas {\(\nu\)}=1 nous donne la condition nécessaire (F’x)2(x)F”(x)>0, trouvée parLaguerre, toutefois, il faut ajouter au signe d’inégalité un signe d’égalité. Si l’égalité ne peut se produire,F(x) n’aura pas de racines multiples réelles. Je ne peux pas entrer ici en plus de détails.
[10] Evidemment ce n’est qu’en apparence que la condition suffisante est moins serrée que la condition nécessaire, c’est là un avantage pour les applications. Dans ce qui suit je rends encore plus grande la différence entre la condition nécessaire et la condition suffisante.
[11] Nyt Tidsskrift for Matematik, t. XXI, 1910. Om den absolute Værdi af en analytisk Funktion (résumé d’une conférence faite à la société mathématique danoise le 19 mars 1908).
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