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Linear algebras. (English) JFM 43.0162.09

Sind in einem Rationalitätsbereich \(F\) die Elemente \(e_1,\ldots, e_n\) linear unabhängig und von der Art, daß \(e_ie_j=\sum\limits_{k=1}^n \gamma_{ijk}e_k\) (\(i,j=1,\ldots, n\)), so bildet das System \(X =\sum\limits_{k=1}^n x_ke_k\), wie der Verf. sagt, eine lineare Algebra. Der Verf. betrachtet zunächst solche linearen Algebras, in denen weder das assoziative, noch das kommutative Multiplikationsgesetz gilt, und beweist, daß jedes Element \(X\) einer Gleichung genügt, deren Grad gleich der Anzahl der Einheiten ist, und die aus der bekannten charakteristischen Gleichung einer assoziativen linearen Algebra durch einfache Substitutionen hervorgeht. Im besonderen werden die linearen Algebras behandelt, wo jedes Element einer quadratischen Gleichung genügt. Hieran schließt sich die Untersuchung der kommutativen, aber nicht assoziativen, linearen Algebras im Bereich der reellen Zahlen für den Fall einer stets ausführbaren und eindeutigen Division. Der Verf. zeigt, daß alsdann die Anzahl der Einheiten wenigstens sechs beträgt, sowie daß, wenn nur sechs Einheiten vorhanden sind, die charakteristische Gleichung sechsten Grades die Gleichung des niedrigsten Grades darstellt, der ein algebraisches Element \(X\) genügen kann. Die Multiplikation ist kommutativ, aber nicht assoziativ in keiner Algebra mit weniger als sechs Einheiten. Den Schluß bilden kommutative lineare Algebras mit sechs Einheiten, wo jedes Element Wurzel einer Gleichung vierten Grades ist.

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