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Della trasformazione delle forme differenziali quadratiche. (Italian) JFM 43.0171.02

Die in der ersten Arbeit entwickelte Methode wird in der zweiten auf ein Fundamentalproblem der Differentialgeometrie angewendet. Es sei gegeben 1) ein System von Formen \(F\) in einer oder mehreren Reihen unabhängiger Variabeln, die alle derselben linearen Substitution \(S\) unterworfen werden; 2) ein System von \(n\) linearen unabhängigen Formen \(f\), die sich in bezug auf das Koeffizientensystem irgendeiner \(F\) kontravariant verhalten. Es lassen sich, dann aus jeder \(F\) nach der Methode der “Zusammensetzung” ebensoviele unabhängige absolute Invarianten ableiten, als verschiedene Koeffizienten in den \(F\) vorhanden sind. Ist \(N\) diese Anzahl, so beträgt die Anzahl der unabhängigen Koeffizienten des ganzen Systems der \(F\) und \(f\) gerade \(N+n^2\), woraus folgt, daß das so erhaltene System absoluter Invarianten ein vollständiges ist. Im besonderen können die Formen \(f\) auch (lineare) Kovarianten der \(F\) sein.
Durchläuft andererseits \(S\) irgendeine kontinuierliche Gruppe \(G\), so bleibt die Methode anwendbar, wenn sich die – jetzt nicht mehr unabhängigen – Koeffizienten der \(f\) durch genau ebensoviele Parameter darstellen lassen, wie \(G\) enthält.
Diese allgemeinen Ansätze werden durchgeführt für folgenden besonderen Fall. Vorgelegt sei ein System von Formen, bestehend aus: a) einer positiven quadratischen “Fundamentalform” \(\varphi=\sum a_{rs}x_rx_s\), b) der Adjungierten \(\psi=\sum b_{rs}x_rx_s\), die man durch eine beliebige quadratische Form ersetzen kann, c) durch irgendwelche weiteren “assoziierten” Formen. Die Wurzeln \(w_1,\ldots, w_n\) der charakteristischen Gleichung \(|b_{rr}-wa_{rr}|=0\) seien verschieden. Jedes System \(S_i\) (\(i = 1,\ldots, n\)) von Gleichungen \(\sum\limits_{s=1}^n (b_{rs} - w_i a_{rs})\xi_s=0\) besitzt (bis auf einen willkürlichen Faktor \(\mu_i\)) eine bestimmte Lösung \(\xi_s=\alpha_i^{(s)}\). Die \(w_i\) sind Invarianten der Gruppe der linearen Substitutionen der \(x\), und es ist gestattet, auch die \(\mu_i\) als solche Invarianten anzunehmen. Setzt man jetzt \(\varphi_=\sum\limits_{s=1}^n \alpha_i^{(s)}y_s\), so bilden die \(y\) ein zu den \(x\) kontragredientes System, und die \(n\) Formen \(\varphi_i\) sind linear unabhängig. Dann aber lassen sich ebensoviele unabhängige Invarianten \(I\) linear aus Produkten der \(\alpha\) zusammensetzen, wie unabhängige Koeffizienten der Urform vorhanden sind. Die Quadrate dieser \(I\) sind rational in den Wurzeln \(w_i\). Beide Größenreihen zusammen bilden für das vorgelegte Formensystem ein vollständiges System von Invarianten von der Anzahl \(N+n\), wenn \(N\) die Anzahl der verschiedenen Koeffizienten der assoziierten Formen bedeutet. Eine einfache Anwendung erfährt die entwickelte Methode, wenn außer der Fundamentalform \(\varphi\) eine Bilinearform \(k=\sum A_{rs}x_ry_s\) vorliegt. Setzt man \(2\beta_{rs}=-2\beta_{sr}=A_{rs}-A_{sr}\), \(2b_{rs}=A_{rs}+A_{sr}\), so tritt noch außer der adjungierten Form mit den Koeffizienten \(b_{rs}\) die assoziierte Form \(F=\sum\beta_{rs}x_ry_s\) hinzu. Das Formenssytem \((\varphi, k)\) läßt dann \(\dfrac{n(n+1)}2\) absolute Invarianten zu, die sich in rationaler Gestalt aufstellen lassen. An deren Stelle können auch \(\dfrac{n(n+1)}{2}+1\) einfache ganzrationale Invarianten treten.
Als zweite Anwendung wird der Fall einer in zwei Systemen von \(n\) Variabeln quadratischen Form \(\varPhi=\sum a_{pr}x_px_qy_ry_s\) behandelt, wo \(a_{pr,qs} = a_{qs,pr}\), während auf beide Variabelnreihen eine orthogonale Substitution \(A\) ausgeübt wird. Man stellt erst wieder ein vollständiges System irrationaler Invarianten auf, deren Anzahl gleich ist der Anzahl der Koeffizienten von \(\varPhi\), vermindert um die Anzahl \(\frac12n(n - 1)\) der Parameter von \(A\). An Stelle dieser irrationalen Invarianten läßt sich wiederum ein solches von ebenso vielen rationalen einführen.
In der zweiten Abhandlung wird die obige Methode angewendet auf die Bestimmung der simultanen Invarianten einer quadratischen differentialen Fundamentalform \(\varphi\) und ihrer Riemannschen quadrilinearen Form \(F\); damit erhält man ein vollständiges System von Differentialinvarianten der zweiten Ordnung und auf analogem Wege auch ein solches für beliebige Ordnung.
Sei \(\varphi=\sum a_{rs}dx_rdx_s\), \(F=\sum a_{rt,su}dx_rdx_s\delta x_t \delta x_u\). Wegen der Relationen zwischen den \(a_{rt,su}\) beträgt die Anzahl der linear unabhängigen Koeffizienten \(N = \frac1{12}n^2(n^2 - 1)\). Die zu \(\varphi\) reziproke Form sei \(f\). Die Methode liefert \(N-\frac12n(n - 1)\) absolute unabhängige simultane Invarianten von \(\varphi\) und \(F\). Wegen der Ausführung im einzelnen ist auf die Abhandlung selbst zu verweisen.

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