Fontené, G. Sur une congruence extraite de la congruence binome; facteurs premiers de certains nombres. (French) JFM 43.0243.01 Nouv. Ann. (4) 12, 241-260 (1912). Diese Arbeit bringt eine Verallgemeinerung des vom Verf. aufgestellten Satzes: Sind \(p\) eine Primzahl, \(x\) und \(y\) zwei zu \(p\) und zueinander prime Zahlen, so hat jede Zahl \[ \dfrac{x^p-y^p}{x-y} \] nur Primteiler der Form \(1 + kp\) und die Primzahl \(p\), falls \(x - y \equiv 0 (p)\). Die Verallgemeinerung lautet: Es sei \(n = p^{\alpha}\cdot q^{\beta}\cdot r^{\gamma }\cdots \) eine in seine Primfaktoren zerlegte ganze Zahl \((p > q > r >\cdots );\) \(x\) und \(y\) zwei zu \(p\) und zueinander prime Zahlen. Dann sind alle Primteiler von \[ f_n(x,y) = \dfrac{(x^n-y^n)(x^{\tfrac{n}{pq}}-y^{\tfrac{n}{pq}})\ldots (x^{\tfrac{n}{pqrs}}-y^{\tfrac{n}{pqrs}})\ldots} {\biggl(x^{\tfrac{n}{p}}-y^{\tfrac{n}{p}}\biggr) \biggl(x^{\tfrac{n}{q}}-y^{\tfrac{n}{q}}\biggr)\ldots \biggl( x^{\tfrac{n}{pqr}}-y^{\tfrac{n}{pqr}}\biggr)\ldots } \] entweder von der Form \(1 + kn\) oder gleich \(p\); das letztere nur dann, wenn \(p - 1 = k\dfrac{n}{p^\alpha } = kq^{\beta}r^{\gamma}\cdots \) ist; \(x, y\) genügen dann der Kongruenz \[ f_{\tfrac{n}{p^\alpha}} (x, y) \equiv 0 \;\;(\operatorname{mod.} \, p). \]Im Falle \(n = p^\alpha\) tritt der Teiler \(p\) nur auf, wenn \(x - y \equiv 0 (p)\), und zwar ist er dann ein einfacher Teiler. Reviewer: Fueter, Prof. (Karlsruhe) JFM Section:Dritter Abschnitt. Niedere und höhere Arithmetik. Kapitel 2. Zahlentheorie. A. Allgemeines. × Cite Format Result Cite Review PDF Full Text: EuDML