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Über den Rest von \(\dfrac{2^{p-1}-1}{p} (\operatorname{mod}.\, p)\). (German) JFM 43.0244.01
Der Verf. geht von der Formel (\(p\) eine ungerade Primzahl) \[ \dfrac{2^{p-1}-1}{p}\equiv 1+\dfrac13+\dfrac15+\cdots +\dfrac{1}{p-2} (\operatorname{mod}.\, p) \] aus und gibt ihr, indem er zwischen den Zahlen \(n \;(0 < n < p)\), deren Socius ungerade, und zwischen den Zahlen \(n\), deren Socius gerade ist, unterscheidet, folgende Form: \[ \dfrac{2^{p-1}-1}{p}+\biggl(\dfrac{p-1}{2}\biggr)^2-2\equiv \Sigma \operatorname{sgn} (s-t)(-1)^{s+t+1}s (\operatorname{mod}.\, p), \] wo die Summe über alle positiven ganzen Lösungen \(< p\) der Kongruenz \[ s^2 \equiv t^2 + 1 \;(\operatorname{mod}.\, p) \] zu erstrecken ist. Ist \(r\) die primitive \(p\)-te Einheitswurzel \(e^{\tfrac{2ri}{p}}\), so leitet der Verf. hieraus noch folgende bemerkenswerte Kongruenz ab: \[ \dfrac{2^{p-1}-1}{p}\equiv \sum^{p-1}_{h=1}(r^{-h} - r^h) J_h (\text{mod.}\, p), \] wo \(J_h\) der imaginäre Bestandteil von \(\dfrac{f_h'(1)}{f_h(1)}\) ist und \[ f_h (x) =\prod_{s=1}^{\tfrac{p-1}{2}} (x-r^{4hs}). \]

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Full Text: Crelle EuDML