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Letzter Fermatscher Satz und Eisensteinsches Reziprozitätsprinzip. (German) JFM 43.0272.02
Gibt es drei zu \(l\) prime Zahlen \(x_1, x_2, x_3\), für die \[ x_1^l+x_2^l+x_3^l=0, \] so ist \(x_1+\zeta x_2\) die \(l\)-te Potenz eines Ideals, falls \(\zeta\) die \(l\)-te Einheitswurzel bedeutet. Nach dem Eisensteinschen Reziprozitätsgesetz ist also für jede ganze rationale Zahl \(r\) \[ \biggl(\dfrac{x_1\zeta^{x_2}+x_2\zeta^{-x_1}}{r}\biggr)=1. \]
Ist \(r\) Teiler von \(x_1\) oder \(x_2\), so ergibt sich daraus der Satz, daß jede in \(x_1, x_2, x_3\) enthaltene Zahl \(r\) der Bedingung genügt \[ r^{l-1}\equiv 1 (\operatorname{mod}. \;l^2). \] Diese Beziehung ergibt ohne weiteres das Wieferichsche Kriterium (F. d. M. 40, 256 (JFM 40.0256.*), 1909). Genau dasselbe läßt sich auch für jeden Teiler von \(x_1\pm x_2\) zeigen, falls \(x_1 -x_2\), zu \(l\) prim ist. Daraus folgt das Mirimanoffsche Kriterium (F. d. M. 41, 236 (JFM 41.0236.*), 1910).

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