On the multiplication of Dirichlet’s series. (English) JFM 43.0327.03

Hardy, G. H.

Lond. M. S. Proc. (2) 10, 396-405 (1912).

Sind \(A = \sum a_n\), \(B = \sum b_n\) konvergente Reihen, und setzt man, \[ c_n = a_0 b_n + a_1 b_{n-1} + \cdots + a_n b_0, \] so gilt bezüglich der Reihe \(C = \sum c_n\) der Satz (Abel), daß, wenn sie konvergiert, \(C = A \cdot B\) ist.
Nach Cauchy ist \(C\) sicher konvergent, wenn \(A\) und \(B\) absolut konvergieren; nach Mertens genügt die absolute Konvergenz einer der Reihen. Hardy hat bewiesen, daß \(C\) konvergiert, wenn \[ n a_n \to 0 \quad \text{ und } \quad n b_n \to 0, \tag{a} \] oder auch nur, wenn \[ |n a_n| < K \quad \text{ und } \quad |n b_n| < K \tag{b} \] ist. Analog dieser “Cauchyschen” Multiplikation (die durch formale Ausmultiplikation der Potenzreihen \(\sum a_n x^n\) und \(\sum b_n x^n\) nahegelegt wird) hat man die “Dirichletsche” in Betracht gezogen, die durch formale Ausmultiplikation der Dirichletschen Reihen: \[ \sum a_n e^{-\lambda_{n^s}} \cdot \sum b_n e^{-\lambda_{n^s}} = \sum c_n e^{-\nu_{n^s}} \] für \(\varrho = 0\) entsteht. Hierbei ist \((\lambda_n)\) eine monoton gegen \(+\infty\) wachsende Folge positiver Zahlen und die Folge \((\nu_n)\) entsteht hieraus, wenn man alle Summen \(\lambda_k + \lambda_\mu\) der Größe nach ordnet.
Daß für die so entstehende Reihe \(\sum c_n\) – für \(\lambda_n = \log n\) ist z. B. \( c_n = \sum_{d|n} a_d b_{\frac nd}\) – die zu dem Abelschen, Cauchyschen und Mertensschen analogen Sätze gelten, ist bekannt und schon elementar bewiesen worden. In der vorliegenden Arbeit werden nun auch die Hardyschen Sätze auf die Dirichletsche Multiplikation übertragen: \(\sum c_n\) ist sicher konvergent (mit der Summe \(C = AB\)), wenn \[ \frac{\lambda_n a_n}{\lambda_n - \lambda_{n-1}} \to 0 \quad \text{ und }\quad \frac{\lambda_n b_n}{\lambda_n - \lambda_{n-1}} \to 0, \text{ oder wenn } \tag{a} \]
\[ \left|\frac{\lambda_n a_n}{\lambda_n - \lambda_{n-1}}\right| < K \quad \text{ und } \quad \left|\frac{\lambda_n b_n}{\lambda_n - \lambda_{n-1}}\right| < K \tag{b} \] ist – letzteres nur unter der (sachlich kaum einschränkenden) Voraussetzung, daß \(\dfrac{\lambda_n - \lambda_{n-1}}{\lambda_n} \to 0\).
Für sehr stark wachsende \(\lambda_n\) (z. B. \(= 2^n, 3^n, \dots\)) ist die Produktreihe stets konvergent.

Reviewer: Knopp, K., Prof. (Berlin)

JFM Section:

Fünfter Abschnitt. Reihen. Kapitel 1. Allgemeines.