Sur la réductibilité et l’intégration des systèmes complets. (French) JFM 43.0376.01

Vessiot, E.

Ann. de l’Éc. Norm. (3) 29, 209-278 (1912).

Verf. setzt in der vorliegenden Arbeit seine neuen Gedanken über die Reduktibilität der vollständigen Systeme \[ \sum_{i=1}^n \lambda_{ki}(x_1,\dots,x_n)\frac{\partial f}{\partial x_i}=0 \qquad (k=1,2,\dots,q) (\text{A}) \] auseinander, welche er in zwei Noten der C. E. (F. d. M. 40, 356 (JFM 40.0356.*), 1909; 41, 419, 1910) angezeigt hat. Diese Gedanken beziehen sich auf die vollständig integrablen Pfaffschen Gleichungssysteme, insbesondere auf die gewöhnlichen Differentialgleichungssysteme und (direkt oder indirekt) auf alle Probleme der Integralrechnung, die sich durch Integration eines Differentialsystems lösen lassen, dessen allgemeine Lösung nur von willkürlichen Konstanten abhängt. Sie gestatten nicht nur, in einfacher und präziser Weise die Transformationsgruppen einzuführen, welche den besonderen Charakter eines gegebenen vollständigen Systems ausdrücken, sondern auch, die verschiedenen Arten der Reduktibilität zu untersuchen und zu vergleichen, wodurch sie besonders für die Anwendungen geeignet sind. Im übrigen ist der Verf. dadurch auf seine neue Auffassung der Reduktibilität geführt worden, daß er mittels des Begriffes der Rationalitätsgruppen die Lieschen Theorien zu diskutieren suchte, die solche vollständigen Systeme betreffen, welche bekannte infinitesimale Transformationen zulassen, und solche, die zur Nutzbarmachung der Integralinvarianten geführt haben; er beschränkt sich aber in der vorliegenden Abhandlung auf die Auseinandersetzung der allgemeinen Theorien und behält die Anwendungen einer späteren Arbeit vor.
Jedem vollständigen System (\(A\)) oder dem vollständig integrablen System Pfaffscher Gleichungen, welches ihm äquivalent ist und seine Charakteristiken definiert, sind zwei Transformationsgruppen in \(x_1,\dots,x_n\) zugeordnet: die Gruppe (\(g\)) gebildet aus allen Transformationen, welche jede Lösung von (\(A\)) als Invariante zulassen, d. h. jede Charakteristik invariant lassen, und die Gruppe (\(G\)), gebildet aus allen Transformationen, die das System (\(A\)) invariant lassen, d. h. seine Lösungen oder seine Charakteristiken permutieren. – Die Vorgabe des Systems (\(A\)) ist äquivalent der Vorgabe der Definitionsgleichungen, d. h. der Differentialinvarianten von (\(G\)); die Integration von (\(A\)) ist äquivalent der Aufsuchung der Invarianten, d. h. der Definitionsgleichungen von (\(g\)). Das Problem der Integration von (\(A\)) erscheint also als ein spezieller Fall des folgenden Problems der Gruppentheorie: aus den Definitionsgleichungen einer Gruppe diejenigen einer ihrer invarianten Untergruppen zu finden; und dieses Problem vereinfacht sich jedesmal, wenn man die Definitionsgleichungen einer intermediären Gruppe zwischen der gegebenen und der gesuchten Gruppe, d. h. einer in der ersten enthaltenen und die zweite enthaltenden Gruppe kennt.
Vom Standpunkte der Rationalität aus wird man also dazu geführt, ein gegebenes vollständiges System (\(A\)) in einem gegebenen Rationalitätsbereich (\(R\)) als “reduktibel” oder “speziell” zu betrachten, wenn eine “intermediäre Gruppe” existiert, d. h. eine solche, die in (\(G\)) enthalten ist und (\(g\)) enthält, und deren Definitionsgleichungen in (\(R\)) rational sind. Und wenn das System reduktibel ist, wird man seine besondere Art der Reduktibilität als definiert betrachten durch die kleinste dieser intermediären Gruppen mit rationalen Definitionsgleichungen. Diese rationale intermediäre Minimumsgruppe nennt Verf. die “spezifische Gruppe” des gegebenen vollständigen Systems; sie ist vollständig bestimmt. “Rationalitätsgruppe” nennt Verf. dagegen irgend eine der Gruppen, welche das Vertauschungsgesetz der Charakteristiken von (\(A\)) durch die verschiedenen Transformationen der spezifischen Gruppe ausdrücken; diese Gruppen bilden eine Klasse von Gruppen in \(p\) Variabeln (\(p=n-q\)), die einander ähnlich sind; es ist also nur der Typus der Rationalitätsgruppe bestimmt.
Die spezifische Gruppe und die Rationalitätsgruppen treten gleichzeitig auf, wenn man die Differentialsysteme mit \(p\) unbekannten Funktionen \(z_1,\dots,z_p\) und \(n\) unabhängigen Variablen \(x_1,\dots,x_n\) einführt, bei denen eine Lösung aus \(p\) unabhängigen Lösungen des vollständigen Systems (\(A\)) gebildet ist, und deren allgemeinste Lösung sich aus den Formeln \(z_h=v_h (x_1,\dots,x_n)\) (\(h=1,2,\dots,p\)), die irgend eine partikulare Lösung definieren, ergibt, wenn man darin auf die Variablen \(z_1,\dots,z_p\) die Transformationen einer Gruppe ausübt. Verf. nennt sie die “automorphen Hülfssysteme”; sie ergeben sich von selbst, wenn man die Natur der intermediären Gruppen untersucht. Unter diesen intermediären automorphen Systemen definieren diejenigen, deren Definitionsgleichungen sich in rationaler Form schreiben lassen, und deren allgemeine Lösung den kleinsten mit dieser Bedingung verträglichen Grad der Allgemeinheit besitzt, zu gleicher Zeit die spezifische Gruppe und die verschiedenen Rationalitätsgruppen (vgl. des Verf. Artikel in der Encycl. math. (éd. franç. t. II, vol. 3: Équations diff., n\(^{\text{os}}\) 43, 44); denn für jedes derselben ist die Gruppe, welche aus allen Transformationen in \(x_1,\dots,x_n\) gebildet ist, die es invariant lassen, genau die spezifische Gruppe, und die aus allen Transformationen in \(z_1,\dots,z_p\), die es invariant lassen, gebildete Gruppe ist eine der Formen der Rationalitätsgruppe.
Jedes automorphe Hülfssystem kann auf zwei kanonische Formen gebracht werden, je nachdem man von den beiden Gruppen, die es zuläßt, die in \(x_1,\dots,x_n\) oder die in \(z_1,\dots,z_p\) in Evidenz setzt. Die Vergleichung dieser beiden kanonischen Formen führt dazu, a priori die Typen reduktibler vollständiger Systeme zu konstruieren, wenigstens dann, wenn man sich auf den Fall beschränkt, wo die spezifische Gruppe und die Rationalitätsgruppe transitiv sind, d. h. wenn man voraussetzt, daß das vorgelegte vollständige System keine rationale Lösung besitzt (vgl. Drach, Thèse, S. 93; F. d. M. 29, 349 (JFM 29.0349.*), 1898. – Vessiot, Ann. de l’Éc. Norm. (3) 21, 77; F. d. M. 35, 351 (JFM 35.0351.*), 1904).
Man denke sich die verschiedenen Klassen transitiver Gruppen in \(z_1,\dots,z_p\): zu einer jeden Klasse gehören immer diejenigen Gruppen, die einander ähnlich sind. Aus jeder Klasse werde ein Repräsentant gewählt und für diesen ein System von Fundamentalinvarianten \(\varGamma_\mu\) (\(\mu=1,2,\dots,m\)), welche Funktionen der Variablen \(z_1,\dots,z_p\) und ihrer Ableitungen nach \(x_1,\dots,x_p\) sind. Die Wahl des Repräsentanten jeder Klasse und der Fundamentalinvarianten desselben ist willkürlich, vorausgesetzt daß die \(\varGamma_\mu\) rational sind, falls das möglich ist; die Klassen, für die es unmöglich ist, werden ausgeschlossen. Betrachtet man dann die Invarianten \(\varGamma_\mu\) einer der Gruppenklassen und ersetzt darin die \(z_h\) durch ein Fundamentalsystem von Lösungen von (\(A\)), so erhält man gewisse Funktionen \(\omega_\mu(x_1,\dots,x_n\)) (\(\mu=1,2,\dots,m\)), welche ein Wertsystem der \(\varGamma_\mu\) genannt werden können, so daß die \(\varGamma_\mu\) je nach dem angewandten Lösungssystem von (\(A\)) unendlich viele Wertsysteme besitzen. Alsdann besitzen die Invarianten \(\varGamma_\mu\) der Klasse der Rationalitätsgruppen ein aus rationalen Funktionen zusammengesetztes Wertsystem, und die Invarianten einer anderen Klasse besitzen dann ein rationales Wertsystem, wenn der Repräsentant dieser Klasse eine Untergruppe vom Typus der Rationalitätsgruppen besitzt. Jeder Typus reduktibler vollständiger Systeme ist also durch ein System rationaler Gleichungen von der Form \(\varGamma_\mu= \omega_\mu(x_1,\dots,x_n)\) (\(\mu=1,2,\dots,m\)) charakterisiert. Sind die Invarianten \(\varGamma_\mu\) und das vollständige System (\(A\)) gegeben, so kann man das “lösende System” bilden, von dem das allgemeinste Wertsystem \(\omega_\mu\) der Invarianten der betrachteten Klasse abhängt. Durch dieses lösende System können auch direkt die intermediären Gruppen eines und desselben Typus definiert werden. Die Bestimmung der spezifischen Gruppe und der Rationalitätsgruppe hängt also von der Aufsuchung der rationalen Lösungen dieser lösenden Systeme ab.
Drach (l. c., C. R. 151, 192-195; Toulouse Ann. (2) 10; F. d. M. 41, 416 (JFM 41.0416.*), 1910) hat sich in der Theorie der Reduktibilität auf einen ganz anderen Standpunkt gestellt; es besteht aber, wie Verf. zeigt, insofern Äquivalenz zwischen seiner und des Verf. Definition der Reduktibilität, als beide zu denselben Rationalitätsgruppen führen; nur wird bei dem Verf. Überflüssiges ausgeschieden.
An Stelle der spezifischen Gruppe kann man auf unendlich viele Arten andere Gruppen zur Definition der besonderen Art der Reduktibilität des vorgegebenen vollständigen Systems benutzen, was für die Anwendungen von großer Wichtigkeit ist.
Zum Schluß untersucht Verf. die Reduktion der spezifischen Gruppe oder der Rationalitätsgruppe durch Adjunktion und zeigt insbesondere, daß die Reduktion der spezifischen Gruppe auf eine ihrer invarianten Untergruppen durch Integration eines rationalen vollständigen Systems vollzogen werden kann, dessen spezifische Gruppe einfach ist. – Verf. hat sich in der vorliegenden Abhandlung durchweg auf den Fall transitiver Gruppen beschränkt, da das Auftreten intransitiver Gruppen besondere Schwierigkeiten nach sich zieht, die allerdings zum Teil durch bekannte Kunstgriffe beseitigt werden können.

Reviewer: Wallenberg, Prof. (Berlin)

JFM Section:

Sechster Abschnitt. Differential- und Integralrechnung. Kapitel 5. Gewöhnliche Differentialgleichungen und Funktionalgleichungen. A. Gewöhnliche Differentialgleichungen.

Citations:

JFM 40.0356.*; JFM 29.0349.*; JFM 35.0351.*; JFM 41.0416.*