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Über Differentialgleichungssysteme erster Ordnung, deren Lösungen sich integrallos darstellen lassen. (German) JFM 43.0381.01
Monge (Mém. de l’Ac. des Sc. 1784) hat zuerst nachgewiesen, daß man aus nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung mit zwei unabhängigen Veränderlichen unterbestimmte Differentialgleichungen, die Differentialgleichungen der Integralkurven, ableiten kann, die eine “integrallose” Auflösung gestatten, d. h. deren Lösungen durch Differentiations- und Eliminationsprozesse aus einem vollständigen Integrale der zugehörigen partiellen Differentialgleichung gewonnen werden können. Goursat (S. M. F. Bull. 33, 201-210; F. d. M. 36, 421 (JFM 36.0421.*), 1905) hat sodann ein Verfahren angegeben, aus Involutionssystemen von \(n-1\) partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung mit \(n\) unabhängigen Veränderlichen unterbestimmte Differentialgleichungssysteme erster Ordnung von \(n-1\) Gleichungen mit \(n\) abhängigen und einer unabhängigen Veränderlichen herzustellen, deren Lösungen sich integrallos darstellen lassen.
In der vorliegenden Arbeit wird nun gezeigt, daß unter gewissen Voraussetzungen und Einschränkungen zu jedem Involutionssysteme von \(m\) partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung mit \(n\) (\(> m\)) unabhängigen und einer abhängigen Veränderlichen ein System von \(m\) Differentialgleichungen erster Ordnung mit \(m +1\) abhängigen und \(n-m\) unabhängigen Veränderlichen gehört, deren Lösungen sich mit gewissen Einschränkungen und bestimmten Ausnahmen integrallos darstellen lassen. Es zeigt sich dabei, daß das Involutionssystem und das zugehörige unterbestimmte Differentialgleichungssystem das Anfangs- oder Endglied einer Kette von Differentialgleichungssystemen bilden, deren einzelnes mit \(k+1\) abhängigen und \(n-k\) unabhängigen Veränderlichen (\(k=0,1,\dots,m\)) aus \((k+1)m-k^2\) Gleichungen besteht, und deren Lösungen sich unter bestimmten Annahmen durch Differentiations- und Eliminationsprozesse aus einem vollständigen Integrale des Involutionssystems gewinnen lassen. Es ergeben sich hierbei auch Ausblicke für den Fall, daß das vorgelegte partielle Differentialgleichungssystem zwar nicht ein Involutionssystem ist, jedoch eine willkürliche Parameter enthaltende Integrationsschar besitzt.
Der Beweis dieser Tatsachen wird der Einfachheit und Klarheit halber nicht allgemein, sondern an der Reihe \(n=4\), \(m=1,2,3\) durchgeführt, doch werden die Beweise so gestaltet, daß ihre Verallgemeinerung keinerlei Schwierigkeiten verursacht. Der Fall \(n=4\), \(m=3\) ordnet sich den von Goursat behandelten Systemen unter; die hier eingeschlagene Methode gewährt aber einen tieferen Einblick in die vorliegenden Verhältnisse und vervollständigt die Goursatsche Darstellung in wesentlichen Punkten. Beim Beweise treten obendrein Differentialgleichungssysteme auf, die sich unter Hinzunahme willkürlicher Funktionen in der angegebenen Weise integrallos darstellen lassen.

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References:
[1] Mémoires de l’Académie des Sciences, 1784.
[2] ?Sur le problème de Monge?, Soc. Math. France 1905, S. 201.
[3] V. Escherich, Über Systeme von Differentiagleichungen der 1. Ordnung [Wien. Sitz. Ber. 108 (1899), S. 621 ff.]. Als wesentliche Ergänzung hierzu: Leon Lichtenstein, Zur Theorie der gew. Diffgl. und der part. Diffgl. 2. O. Rend. Circ. Mat. Pal. 28 (1909), S. 267, da durch die hier angewandte Methode die gleichmäßige Konvergenz der in Betracht kommenden Reihen und damit die stetige Differentiierbarkeit unserer Integrale nachgewiesen werden kann. Vgl. weiter: Lindelöf, Démonstration de quelques théorèmes sur les équations différentielles, J. de Math. (5) 6 (1900), S. 423 ff. Hadamard, Sur les intégrales d’une système d’équations différentielles ordinaires, considérées comme fonctions des données initiales. Bull. Soc. Math. France 28 (1900), S. 63.
[4] S. Lie, ?Über Komplexe, usf.? Math. Ann. 5 (1872), S. 153.
[5] Siehe III, 9.
[6] Siehe II, 8.
[7] i, j, k, l, m ist hierbei eine Permutation von 1, 2, 3, 4, 5.
[8] Man vergleiche Darboux, Mémoire sur les solutions singulières (Mémoires présentés par des savants étrangers 27 (1880), S. 47.
[9] Der Gedanke, die Charakteristiken der Differentialgleichungen mit Hilfe von Variationsproblemen zu bestimmen, stammt von Herrn Hilbert; für partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung im dreidimensionalen Raume wurde er von Yoshiye (Math. Ann. 57, S. 185 ff.) ausgeführt, der ihn, wie mir durch eine Manuskript bekannt wurde, auch bei Involutionssystemen durchgeführt hat.
[10] Die folgende Entwicklung stützt sich auf Darboux, Mémoire sur les solutions singulières. (Mémoires présentés par des savants étrangers 1880, p. 59.)
[11] Die hier angegebene Erweiterung wurde schon von Darboux (l. c., p. 47) im Falle einer partiellen Differentialgleichung 1. Ordnung im dreidimensionalen Raume vorgenommen.
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