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Sur des équations différentielles du troisième ordre dont l’intégrale générale est uniforme et sur une classe d’équations nouvelles d’ordre supérieur dont l’intégrale générale a ses points critiques fixes. (French) JFM 43.0382.01

Nach den Untersuchungen von Painlevé und Gambier gilt der folgende fundamentale Satz: “Wenn das allgemeine Integral einer Differentialgleichung \[ y''=R(y',y,x), \tag{1} \]
wo \(R\) rational in \(y'\), algebraisch in \(y\), analytisch in \(x\) ist, feste kritische Punkte besitzt, so reduziert es sich entweder auf eine Kombination klassischer Funktionen (die durch Quadraturen oder lineare Differentialgleichungen definiert sind), oder die Gleichung (1) läßt sich durch algebraische Transformationen auf einen von gewissen explizit angegebenen sechs Typen zurückführen.”
Der letzte, von K. Fuchs [C. R. 141, 555–558 (1906; JFM 36.0397.02); Math. Ann. 63, 301–321 (1907; JFM 38.0362.01)] auf ganz anderem Wege gefundene Typus lautet:
\[ \displaylines{\text{(VI)}\quad y''=\frac12\left(\frac1y+\frac1{y-1}+\frac1{y-x}\right){y'}^2\left(\frac1x+\frac1{x-1}-\frac1{x-y}\right)y'\hfill\cr\hfill {}+\frac{y(y-1)(y-x)}{x^2(x-1)^2} \left[\alpha+\frac{\beta x}{y^2}+\frac{\gamma(x-1)}{(y-1)^2}+ \delta\frac{x(x-1)}{(y-x)^2}\right]} \]
(\(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\) Konstanten); aus ihm gehen die fünf übrigen, wie P. Painlevé später gezeigt hat [C. R. 143, 1111–1117 (1907; JFM 37.0341.04)], durch Degenereszenz hervor. Die Integrale dieser im strengen Sinne von Drach irreduktiblen Differentialgleichungen sind wesentlich neue Transzendenten.
Es handelte sich nun zuerst darum, die von Painlevé im Falle der zweiten Ordnung befolgte Methode auf die Differentialgleichungen dritter Ordnung
\[ y'''=R(y'',y',y,x), \tag{2} \]
wo \(R\) rational in \(y''\), \(y'\), algebraisch in \(y\), analytisch in \(x\) ist, auszudehnen. Diese Methode, auf die Gleichungen (2) angewendet, erfordert zunächst die Bestimmung aller Fälle, in denen das allgemeine Integral der Gleichung \[ y'''=\left(1-\frac1n\right)\frac{{y''}^2}{y'}+b(y,z)y''y'+c(y,z){y'}^3 \tag{3} \]
eindeutig ist; in dieser Gleichung bedeutet \(n\) eine endliche oder unendliche, von \(0\) und \(-1\) verschiedene ganze Zahl; \(b(y,z)\) und \(c(y,z)\) sind rationale Funktionen der beiden durch eine algebraische Relation \(f(y,z)=0\) vom Geschlecht \(\omega\) verbundenen Variablen \(y\) und \(z\); endlich muß \(z(x)\) ebenfalls feste kritische Punkte besitzen. P. Painlevé [Bull. Soc. Math. Fr. 28, 191–196 (1900; JFM 31.0337.02)] hat sich darauf beschränkt, folgendes Resultat anzugeben: “Wenn das allgemeine Integral einer Gleichung (3) eindeutig ist, so ist es entweder eine automorphe Funktion, und dann kann \(\omega\) beliebig sein, oder es ist eine Kombination von Ausartungen solcher Funktionen, und alsdann darf \(\omega\) die Einheit nicht übersteigen.”
Wenn die Koeffizienten \(b(y)\) und \(c(y)\) rational sind, so ist die explizite Aufzählung der Gleichungen (3) mit eindeutigem allgemeinen Integral von J. Chazy [C. R. 145, 305–308 (1908; JFM 38.0364.03)] und dem Verf. [C. R. 145, 308–311 (1908; JFM 38.0364.04)] ausgeführt worden; aber es blieb noch die Behandlung des Falles eines beliebigen \(\omega\) übrig.
Im ersten Teil der vorliegenden Abhandlung gibt Verf. eine sehr einfache Methode, um diese Aufgabe für beliebige Werte von \(\omega\) (\(\omega=0\) inkl.) zu lösen [C. R. 147, 915–918 (1909; JFM 39.0376.02)]; sie entlehnt der Theorie der algebraischen Funktionen einer Variable nur ihre elementarsten Sätze und begrenzt in einfacher Weise das Geschlecht \(\omega\) im allgemeinen Falle (\(n\ne -2\)). Dieser Punkt ist in der Theorie der Gleichungen (2) wesentlich; denn hieraus ergibt sich unmittelbar folgender, gleichfalls von Painlevé ausgesprochener Satz: “Wenn das allgemeine Integral einer Gleichung (2) mit in \(y\) algebraischen Koeffizienten feste kritische Punkte besitzt, so ist das Geschlecht der algebraischen Relation notwendig 0 oder 1, es sei denn, daß das Integral vollkommene Mengen singulärer Punkte besitzt.” Dieser Satz zeigt, daß, wenn man die Koordinaten \(y\), \(z\) eines Punktes einer algebraischen Kurve, deren Geschlecht \(>1\) ist, durch Funktionen von \(x\) auszudrücken sucht, die einer Gleichung (2) mit festen kritischen Punkten genügen, die einfachsten, die man zu diesem Zweck anwenden kann, die automorphen Funktionen sind; diese Folgerung ist analog der eines bekannten Satzes von E. Picard [Acta Math. 11, 1–12 (1887; JFM 19.0424.01)].
Nachdem das Geschlecht \(\omega\) (für \(n\neq-2\)) begrenzt ist, gelingt es leicht, alle Fälle aufzuzählen, in denen die Gleichung (3) eindeutige Integrale besitzt, und diese Aufzählung in einen präzisen Satz zusammenzufassen. Nachdem die Diskussion der Gleichungen (3) beendet ist, kann die Untersuchung der Gleichungen (2) in Angriff genommen werden; so hat J. Chazy [Acta Math. 34, 317–385 (1911; JFM 42.0340.03)] bereits sehr ausgedehnte Fälle angegeben, in denen die Gleichungen (2) feste kritische Punkte besitzen.
Verf. verläßt indessen in der Folge diesen Standpunkt und behandelt im zweiten Teile seiner Arbeit im Anschluß an die einschlägigen Untersuchungen von L. Schlesinger und R. Fuchs (loc. cit.) über das Riemannsche Problem die folgende Aufgabe [C. R. 148, 1308–1311 (1909; JFM 40.0377.01): Es sei
\[ \frac1y\frac{d^2y}{dx^2}=\sum_{h=0}^ma_hx^h+\sum_{j=1}^\nu \left[\frac3{4(x-\lambda_j)^2}+\frac{\varrho_j}{x-\lambda_j}\right] \tag{4} \]
eine homogene lineare Differentialgleichung mit \(\nu\) scheinbar singulären Punkten \(\lambda_1,\dots,\lambda_\nu\) (\(x=\infty\) ist ein “irregulärer”, wesentlich singulärer Punkt); es sollen für \(a_1,\ldots,a_m\), \(\lambda_1,\dots, \lambda_\nu\) solche Funktionen von \(n\) Parametern \(t_1,\ldots,t_n\) gewählt werden, daß die L. Fuchsschen Gleichungen
\[ \frac{\partial y}{\partial t_i}=A_iY+B_i\frac{\partial y}{\partial x}\qquad (i=1,2,\ldots,n) \tag{5} \]
mit in \(x\) rationalen Koeffizienten bestehen, die mit (4) ein vollständig integrables System bilden (dieselben drücken bekanntlich aus, daß die Gruppe von (4) von den Parametern \(t_1,\ldots,t_\nu\) unabhängig ist).
Verf. beweist zunächst, daß man, falls \(n>\nu\) ist, stets \(N\le\nu\) Funktionen \(T_1,\ldots,T_N\) der Parameter \(t_1,\ldots,t_\nu\) derart finden kann, daß die Koeffizienten von (4) nur von \(T_1,\ldots,T_N\) abhängen; \(\lambda_1, \ldots,\lambda_\nu\) genügen in bezug auf einen dieser Parameter, z. B. \(T_1\), gewöhnlichen Differentialgleichungen; als Funktionen von \(T_1\) betrachtet, können die symmetrischen Kombinationen von \(\lambda_1,\ldots,\lambda_\nu\) nur dann feste kritische Punkte besitzen, wenn der Grad \(m\) des Polynoms \(\sum a_hx^h\) höchstens gleich 4 ist.
Im Falle \(n=1\), \(m\le 4\) reduzieren sich diese Differentialgleichungen auf den ersten oder zweiten der Painlevéschen Typen (I) \(y''=6y^2+x\); (II) \(y''=2y^3+xy+\alpha\)).
Für \(n=2\), \(m\le 4\) [C. R. 149, 23–26 (1910; JFM 40.0377.01)], führt Verf. folgendes System partieller Differentialgleichungen ein:
\[ \left\{ \begin{alignedat}{2} \frac{\partial x}{\partial t}&=\frac2x+\frac Pz,&&\\ \frac{\partial y}{\partial t}&=z,&& \frac{\partial x}{\partial u}:\frac{\partial y}{\partial u}: \frac{\partial z}{\partial u}=z:\frac Pz:\frac{\partial P}{\partial y},\\ \frac{\partial z}{\partial t}&=\frac{\partial P}{\partial x},&&\\ \end{alignedat} \right. (\varSigma) \]
worin
\[ \left\{ \begin{aligned} &P=c_4xy(x^2+y^2-4t)+c_3x(x^3+3y^2-4t)+c_2xy+c_1x,\\ &\qquad x=\lambda_1-\lambda_2,\;y=\lambda_1+\lambda_2,\;z=\varrho_1+\varrho_2,\\ &t=t_1,\;u=t_2;\text{ \(c_1\), \(c_2\), \(c_3\), \(c_4\) willkürliche Konstanten.}\\ \end{aligned} \right. \tag{6} \]
Für \(m\le 2\) läßt das System (\(\varSigma\)) sich unmittelbar integrieren; für \(m=3\) (\(c_3\ne 0\)) und \(m=4\) (\(c_4\ne 0\)) ist die Integration versteckter. Verf. zeigt, daß die Funktionen \(x^2\), \(y\), \(z\) von \(t\) sich für \(m=3\) (und 4) mittels der durch I (und II) definierten Transzendenten ausdrücken lassen und in \(t\) meromorph sind. Für \(m=4\) ist \(y=\dfrac{2V}{V^2-2}\sqrt T\), worin \(T\) eine irreduktible meromorphe Funktion bedeutet und \(V\) durch Integration einer Riccatischen Gleichung erhalten wird, deren Koeffizienten in \(\sqrt T\) rational sind. Die Untersuchung von \(V(t)\) in der Umgebung eines singulären Punktes nach den klassischen Methoden ergibt nur, daß \(V\) (und infolgedessen \(y\)) höchstens zwei Zweige besitzt; um die Eindeutigkeit von \(y\) zu ermitteln, muß man eine Relation \(V_1V_2=2\) zu Hülfe nehmen, die zwischen den beiden Zweigen \(V_1\) und \(V_2\) von \(V\) besteht und durch Integration einer Differentialgleichung gefunden wird. Sucht man umgekehrt, \(P\) als Funktion von \(x\), \(y\), \(t\), \(u\) so zu bestimmen, daß das System (\(\varSigma\)) vollständig integrabel wird, so muß, wie Verf. zeigt, \(P\) notwendig die Form (6) haben, und die Integration von (\(\varSigma\)) führt dann auf die Gleichungen (I) und (II).
Das System (\(\varSigma\)) besitzt Ausartungen, deren Integrale sich durch die elliptischen Funktionen ausdrücken lassen und elegante Relationen erfüllen; die entsprechenden Integralflächen sind elliptisch und vom Geschlecht 1; ihre Untersuchung bildet den Schluß des zweiten Teiles.
Im dritten Teil untersucht Verf. die verallgemeinerte R. Fuchssche Gleichung
\[ \displaylines{(E_n) \frac1y\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{c_{n+1}}{x^2}+\frac{c_{n+2}}{(x-1)^2} \frac{c_{n+3}}{x(x-1)}+\sum_{i=1}^n\left[\frac{c_i}{(x-t_i)^2}+ \frac{\alpha_i}{x(x-1)(x-t_i)}\right]\hfill\cr\hfill {}+\sum_{j=1}^n\left[\frac3{4(x-\lambda_j)^2}+\frac{\beta_j}{x(x-1)(x-\lambda_j)} \right],} \]
worin \(\lambda_1,\ldots,\lambda_n\) \(n\) scheinbar singuläre Punkte sind. Mittels elementarer Eigenschaften der rationalen Funktionen von \(x\) hat Verf. [C. R. 151, 205–208 (1911; JFM 41.0358.02)] gezeigt, daß, damit die Gruppe von \((E_n)\) von \(t_1,\ldots,t_n\) unabhängig sei, die Koeffizienten \(\alpha_1,\ldots,\beta_n\) sich rational durch \(t_1,\ldots,t_n\), \(\lambda_1,\ldots,\lambda_n\) und durch die ersten Ableitungen der \(\lambda_j\) nach einem der \(t_i\) ausdrücken lassen müssen, während die \(\lambda_j\) ein gewisses Differentialsystem \((F_n,f_n)\) befriedigen, welches die Gleichung (VI) für \(n=1\) umfaßt. Verf. zeigt, daß dieses System vollständig integrabel ist und durch Degenereszenz ein Jacobisches hyperelliptisches System vom Geschlecht \(n\) erzeugt. Ferner beweist er mittels der Methoden von Painlevé [Bull. Soc. Math. Fr. 28, 191–196 (1900; JFM 31.0337.02)], daß die elementarsymmetrischen Kombinationen \(\sigma_1,\ldots,\sigma_n\) von \(\lambda_1, \ldots,\lambda_n\), als Funktionen z. B. von \(t_1\) betrachtet, feste kritische Punkte (\(t_1=t_2,\dots,t_n\), 0, 1, \(\infty\)) besitzen und mit Ausnahme derselben in jedem Punkte \(t_1\) meromorph sind. Werden die Konstanten \(c_1,\ldots,c_{n+3}\) willkürlich gewählt, so sind \(\sigma_1,\ldots,\sigma_n\) wesentlich transzendente Funktionen der \(2n\) Integrationskonstanten. Für besondere Werte von \(c_1,\ldots,c_{n+3}\) kann das System \((F_n,f_n)\) reduktibel werden, z. B. dann, wenn die logarithmische Ableitung eines Integrals von \((E_n)\) rational ist: es besitzt dann alle Lösungen eines Systems \((g_n)\) von der Ordnung \(n\) [C. R. 152, 755–758 (1911; JFM 42.0348.01)]. Das entsprechende Differentialsystem \((\varSigma_n)\) für die Funktionen \(\sigma_1,\ldots,\sigma_n\) ist in diesem Falle eine Verallgemeinerung der Riccatischen Gleichung und geht für \(n=1\) in diese über (R. Fuchs [Math. Ann. 63, 301–321 (1907; JFM 38.0362.01)]; es wird integriert, indem man \(\sigma_n=\theta_n\theta_0^{-1}\) setzt: die \(\theta_n\) genügen einem linearen System von der Ordnung \(n+1\); das System \((S_{n+1})\), dem \(\theta_n\) genügt, fällt für \(n=2\) mit einem von Appell und Picard behandelten System zusammen, welches durch die hypergeometrische Funktion zweier Variablen \(F_1(\alpha,\beta,\beta',\gamma;x,y)\) integriert wird; im allgemeinen ist \(\theta_0\) als Funktion von \(t_1\) eine hypergeometrische Funktion höherer Ordnung nach der Bezeichnung von Pochhammer.
Verf. hat diese Resultate durch eine zweite Methode wiedergefunden, die allein auf dem Gruppenbegriff beruht und von den vollständig integrablen Differentialsystemen keinen Gebrauch macht; er gibt so eine Lösung des Riemannschen Problems für die oben spezialisierte Differentialgleichung \((E_n)\). Von diesem Standpunkte aus beweist Verf. zum Schluß folgenden Satz: “Damit das Verhältnis der Werte des längs zweier seiner Zykeln erstreckten Integrals
\[ \int x^{-2r_{n+1}}(x-1)^{-2r_{n+2}}(x-t_1)^{-2r_1}\cdots(x-t_n)^{-2r_n} (x-\lambda_1)\ldots(x-\lambda_n)\,dx \]
von \(t_1,\ldots,t_n\) unabhängig sei, ist notwendig und hinreichend, daß \(\lambda_1,\ldots,\lambda_n\) ein System \((g_n)\) befriedigen.” Dieser Satz ergänzt und verallgemeinert ein früheres Resultat von R. Fuchs (loc. cit.).
Die Untersuchungen des Verf. stehen in engem Zusammenhange mit den allgemeinen Untersuchungen von L. Schlesinger über das Riemannsche Problem (vgl. das folgende Referat), worauf Verf. selbst in der Einleitung hinweist.

MSC:

34-XX Ordinary differential equations
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