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Über eine Klasse von Differentialsystemen beliebiger Ordnung mit festen kritischen Punkten. (German) JFM 43.0385.01
In einer früheren Abhandlung [J. Reine Angew. Math. 129, 287–294 (1905; JFM 37.0331.02)] hat Verf. die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür, daß die Fundamentalsubstitutionen eines schlechthin kanonischen linearen Differentialsystems von einem der singulären Punkte unabhängig sind, in expliziter Form aufgestellt, und zwar in der Form eines Differentialsystems, dem die sogenannten Residuen als Funktionen jenes singulären Punktes genügen müssen. Die Integration dieses Differentialsystems bildet den Gegenstand der vorliegenden Arbeit. Sie gliedert sich in vier Teile.
Im ersten Teile gibt Verf. eine neue Herleitung des gedachten Differentialsystems aus dem Fuchsschen Problem; im zweiten formuliert er das Integrationsproblem, indem er zunächst eine Anzahl algebraischer Integralgleichungen aufstellt, die eine Reduktion des Differentialsystems auf ein einfacheres gestatten, und dann die allgemeinen Integralgleichungen in zweifacher Form angibt. In der einen dieser Formen treten die unbekannten Funktionen unter den Integralmatrizenzeichen linearer Differentialsysteme auf, in der andern bilden sie die Argumente gewisser meromorpher Funktionen, die konstante Werte annehmen, wenn jene Argumente dem zu lösenden Differentialsystem genügen. Diese Darstellung der Integralgleichungen zeigt erstens, daß jenes Differentialsystem durch die aus linearen Differentialsystemen entspringenden parametralen Funktionen in ähnlicher Weise integriert wird, wie man etwa gewisse lineare Differentialgleichungen durch Quadraturen (bestimmte Integrale) löst, die die Differentiationsvariable als Parameter enthalten. Sie liefert zweitens die genuinen Integrationskonstanten, die in diesem Falle nicht durch die Anfangswerte der Lösungen gegeben werden.
Im dritten Teile werden dann die Eigenschaften jener meromorphen Funktionen entwickelt, soweit sie für die vorliegenden Zwecke erforderlich scheinen; namentlich wird gezeigt, daß diese Funktionen für eine Gruppe eindeutiger und eindeutig umkehrbarer algebraischer Transformationen automorph sind; die Fundamentaltransformationen dieser Gruppe werden explizit aufgestellt.
Im vierten Teile wird dieser Automorphismus interpretiert als eine Beziehung zwischen den verschiedenen Integralsystemen unseres Differentialsystems, die zu denselben Werten jener im zweiten Teile fixierten Integrationskonstanten gehören, und es wird mit Hülfe dieser Beziehung gezeigt, daß dieses Differentialsystem verschiebbare Pole besitzt. Aus der Lösbarkeit des Riemannschen Problems folgt dann, daß keine verschiebbaren kritischen Punkte (Verzweigungspunkte und Unbestimmtheitsstellen) vorhanden sein können. Das qualitative Verhalten der Lösungen in der Umgebung der festen kritischen Punkte wird dann allgemein diskutiert, und es werden daraus die Bedingungen abgeleitet, denen die Integrationskonstanten genügen müssen, damit die entsprechenden Lösungen allenthalben eindeutige Funktionen sind. Endlich wird für den Fall, wo die Integrationskonstanten den “Konvergenzbedingungen” genügen, eine Integration des Differentialsystems in expliziter Form durch die “séries zétafuchsiennes” von Poincaré gegeben und kurz auf den Fall \(n=2\) eingegangen, um zu zeigen, daß die Integrationstheorie des Verf. die von R. Fuchs, Garnier und Painlevé aufgestellten Differentialgleichungen mit festen kritischen Punkten umfaßt.
Die vom Verf. entwickelte Integrationstheorie besitzt insofern prinzipielle Bedeutung, als sie zeigt, wie sich die Theorie der linearen Differentialgleichungen für die Integration von nicht linearen Differentialgleichungen nutzbar machen läßt, und wie insbesondere die bei der Methode von Painlevé so mühsame Untersuchung der verschiebbaren Unbestimmtheitsstellen hier durch die Lösbarkeit des Riemannschen Problems mit einem Schlage erledigt werden kann.
Den Inhalt der Nummern 2, 3, 4 des dritten Teiles hat Verf. der Ungar. Ak. d. Wiss. am 14. Nov. 1910, den des ersten Teiles am 13. März 1911 mitgeteilt; die Grundzüge der ganzen Arbeit wurden in einem auf dem IV. intern. Math. Kongreß zu Rom am 9. April 1908 gehaltenen Vortrage angedeutet. Verf. macht in der vorliegenden Arbeit vielfach von der Matrizenrechnung Gebrauch.

MSC:
34A30 Linear ordinary differential equations and systems, general
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Full Text: DOI Crelle EuDML