The general theory of linear \(q\)-difference equations. (English) JFM 43.0411.02

Carmichael, R. D.

American J. 34, 147-168 (1912).

Mittels einer Transformation von der Form \(z=(m_1x+m_2)/(\mu_1x+\mu_2)\) kann das Funktionalgleichungssystem \[ H_i\left(\frac{az+b}{cz+d}\right)=\sum_{j=1}^n\lambda_{ij}(z)H_j(z)\qquad (i=1,2,\ldots,n) \] mit den \(n\) unbekannten Funktionen \(H(z),\ldots,H_n(z)\) in das Differenzengleichungssystem \[ G_i(x+1)=\sum_{j=1}^n\lambda_{ij}(x)G_j(x) \qquad (i=1,\ldots,n) \] oder in das System der “\(q\)-Differenzengleichungen” \[ G_i(qx)=\sum_{j=1}^n\lambda_{ij}(x)G_j(x) \qquad (i=1,\ldots,n) \] transformiert werden, je nachdem die Substitution \(z'=(az+b)/(cz+d)\) einen oder zwei Doppelpunkte besitzt. Da die wesentlichen allgemeinen Eigenschaften der Lösungen linearer Differenzengleichungen bekannt sind (vgl. Carmichael und Birkhoff, American M. S. Trans. 12), so beschäftigt sich die vorliegende Arbeit mit der Untersuchung der Existenz und der Eigenschaften der Lösungen linearer “\(q\)-Differenzengleichungen”. Im § 1 beweist Verf. für den Fall \(|q|\neq 1\) die Existenz zweier Fundamentalsysteme von Lösungen, von denen das eine im Unendlichen, das andere in der Umgebung von Null einen einfachen Charakter besitzt. Im § 2 führt eine Untersuchung der Beziehungen zwischen diesen beiden Fundamentalsystemen zu einer Theorie, die der Birkhoffschen Charakterisierung der Lösungen eines Differenzengleichungssystems (l. c. §§ 5 u. 7) analog ist. Im § 3 wird der Ausnahmefall \(|q|=1\) betrachtet: es wird eine Methode für die Aufstellung von Fundamentallösungssystemen in expliziter endlicher Form angegeben. Vgl. die Arbeiten von Jackson (American J. 32, 305-314), Grévy (Thèse, Paris 1894) und Leau (Thèse, Paris 1897).

Reviewer: Wallenberg, Prof. (Berlin)

JFM Section:

Sechster Abschnitt. Differential- und Integralrechnung. Kapitel 5. Gewöhnliche Differentialgleichungen und Funktionalgleichungen. B. Funktionalgleichungen.