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Einige Anwendungen diskontinuierlicher Integrale auf Fragen der Differenzenrechnung. (German) JFM 43.0415.02
Lunds Univ. Årss. N. F. 8, 17 S. (1912).
In engem Anschluß an eine Arbeit von E. Guichard (Ann. de l’Éc. Norm. (3) 4, 361 ff., 1887) über die Lösung der Funktionalgleichung \(f(z+1) -f(z)=\varphi(z)\) durch gewisse diskontinuierliche Integrale behandelt Verf. das Problem, die Funktion \(f(z)\) aus den beiden Gleichungen \(f(z+1)-f(z)=\varphi(z)\), \(f(z+i)-f(z)=\psi(z)\) zu bestimmen, worin \(\varphi(z)\) und \(\psi(z)\) eindeutige analytische Funktionen sind, welche der Relation \(\varphi(z+i)-\varphi(z)= \psi(z+1)-\psi(z)\), d. h. der notwendigen und hinreichenden Bedingung für die Eindeutigkeit von \(f(z)\), genügen (für den Fall ganzer Funktionen \(\varphi\) und \(\psi\) hat dieses Problem ebenfalls bereits Guichard, Ann. de l’Éc. Norm. (2) 12, 301 ff., 1883 nach einer anderen Methode behandelt). Verf. benutzt ein ähnliches diskontinuierliches Integral wie Guichard (l. c. 1887), nämlich \[ H(z)=\int_{ih}^{ik} \varphi(u)L(u-z)\,du, \] worin aber \(L(u)\) nicht wie bei Guichard eine einfach periodische Funktion von der Periode 1, sondern eine doppeltperiodische Funktion mit den Perioden 1 und \(i\) ist.