×

zbMATH — the first resource for mathematics

Über die Integrale des Herrn Hellinger und die Orthogonalinvarianten der quadratischen Formen von unendlich vielen Veränderlichen. (German) JFM 43.0421.03
Die vorliegende Arbeit will die von E. Hellinger in seiner Dissertation (F. d. M. 38, 153 (JFM 38.0153.*), 1907) entwickelte Theorie der orthogonalen Transformation beschränkter quadratischer Formen neu begründen, ohne die von ihm verwendeten integralartigen Grenzprozesse zu benutzen. An ihre Stelle tritt der Lebesguesche Integralbegriff, und es wird eine Reihe der wesentlichsten Sätze von Lebesgue verwendet, so namentlich die über Existenz und Integrierbarkeit der Ableitung einer monotonen Funktion und über die Bedingungen, unter denen \(f(x) - f(x_0) =\displaystyle\int\limits_{x_0}{\vphantom{\int}}^{x}f'(x)\,dx\) ist. Es ist hier nicht der Ort, zu diskutieren, ob durch Hahns Entwicklungen die Behauptung Hellingers: “Bei Einführung der Lebesgueschen Definitionen scheinen mir daher kompliziertere Betrachtungen notwendig zu werden, als sie bei konsequenter Benutzung der hier gegebenen Neudefinitionen erforderlich sind” (Dissertation, S. 29 unten), bestätigt oder widerlegt wird; -jedenfalls zeigt dieses Zitat im Gegensatz zu einer Äußerung von Hahn am Eingänge seiner Arbeit, daß auch Hellinger keineswegs an der Ersetzbarkeit seiner Grenzwerte durch Lebesguesche Integrale gezweifelt hat.
Im einzelnen geht nun Hahn so vor, daß er nach Zusammenfassung einer Reihe von Hülfssätzen über Lebesguesche Integrale (§ 1) das von Hellinger eingeführte Integral \(\displaystyle\int\dfrac{df(x)^2}{dg(x)}\) umformt (§ 2), indem er \(g = g(x)\) zur neuen unabhängigen Veränderlichen macht; wird dadurch \(f (x) =F(g)\), so ist jenes Integral gleich \(\int (F' (g))^2 dg\) im Lebesgueschen Sinne. Ähnliches gilt von den weiteren von Hellinger benutzten Integralen, und seine diesbezüglichen Sätze ordnen sich natürlich den Sätzen über Lebesguesche Integrale des § 1 ein. Ein Exkurs (§ 3) führt den von Hellinger (Dissertation, Anhang, S. 82) angedeuteten Beweis des Fischer-Rieszschen Satzes aus.
In der Folge werden die Hellingerschen Sätze über orthogonale Differentialformen mit Hülfe Lebesguescher Integrale ausgesprochen oder bewiesen (§ 4) und auf die Frage der orthogonalen Äquivalenz beschränkter quadratischer Formen angewandt (§ 5); dabei tritt an Stelle der Hellingerschen Normalform – um nur vom Streckenspektrum zu reden - \[ \displaylines{\rlap{\indent(1)}\hfill \sum\limits_{(\alpha)}\int\limits_{a}{\vphantom{\int}}^{b}\lambda \frac{(d\varrho^{(\alpha)}(\lambda;x))^2}{d\varrho_0^{(\alpha)}}, \text{ wo } \varrho^{(\alpha)}(\lambda;x)= \sum\limits_{p=1}^{\infty}\varrho_p^{(\alpha)}(\lambda)x_p \hfill} \] die aus Lebesgueschen Integralen aufgebaute Form \[ \displaylines{\hss(2) \sum\limits_{(\alpha)}\int\limits_{0}{\vphantom{\int}}^{\varrho_0^{(\alpha)}(b)}\lambda \left(\frac{d\varrho^(\alpha)}{d\varrho_0^{(\alpha)}}\right)^2\,d\varrho_0^{(\alpha)}; \varrho^{(\alpha)}=\varrho^{(\alpha)}(\lambda;x)=\text{Funktion von}= \varrho_0^{(\alpha)}=\varrho_0^{(\alpha)}(\lambda).} \] Neu gegenüber Hellinger ist der hier von Hahn eingeführte Begriff des geordneten Systems von Eigendifferentialformen \(\varrho^{(\alpha)}(\lambda;x)\); ein solches liegt vor, wenn vermöge der Gleichungen \(\varrho_0^{(\alpha)}=\varrho_0^{(\alpha)}(\lambda)\), \(\varrho_0^{(\beta)}=\varrho_0^{(\beta)}(\lambda)\) für \(\beta>\alpha\) allemal einer Nullmenge der \(\varrho_0^{(\alpha)}\)-Achse eine Nullmenge der \(\varrho_0^{(\beta)}\)-Achse zugeordnet ist, d. h., kurz gesagt, wenn in jedem Summanden von (2) soviel von dem gesamten Streckenspektrum auf Kosten aller folgenden hineingezogen ist, als irgend möglich. Dieser Begriff erlaubt es, das Streckenspektrum in abzählbar unendlich viele perfekte Punktmengen zu zerlegen, die mitsamt der Vielfachheit, in der sie die \(\lambda\)-Achse überdecken, bei orthogonalen Transformationen invariant sind; zur hinreichenden Bedingung für orthogonale Äquivalenz wird die Übereinstimmung dieser Spektra ergänzt durch doppelt soviele Gleichungen, als die höchste auftretende Vielfachheit beträgt, nämlich durch Relationen zwischen den zugehörigen Basisfunktionen \(\varrho_0^{(\alpha)}(\lambda)\) (S. 216, 224). Diese Formulierung ist wohl eleganter, sachlich jedoch genau identisch mit dem von Hellinger angegebenen notwendigen und hinreichenden Kriterium für orthogonale Äquivalenz (Dissertation, S. 80), was entgegen den leicht mißzuverstehenden Ausführungen in Hahns Einleitung hier zu bemerken erlaubt sei. Zum Vergleich beider Formulierungen diene der Hinweis, daß das samt Vielfachheit invariante “eigentliche Spektrum” bei Hellinger aus allgemeinen meßbaren, nicht notwendig perfekten Punktmengen besteht, das nur bei “regulären” Formen auf der \(\lambda\)-Achse, sonst aber im Wertbereich der Basisfunktionen \(\varrho_0^{(\alpha)}(\lambda)\) ausgebreitet zu denken ist (vgl. Dissertation, Satz VII, S. 74; Satz VIII, S. 80); nicht invariant ist die Ableitung dieses Spektrums, das “Spektrum im weiteren Sinne” (nur das besagt ausdrücklich die in Hahns Einleitung zitierte Bemerkung Hellingers, Diss., S. 74), und dieses erhält erst, wenn man zu Hahns “geordneten” Systemen von Eigendifferentialformen übergeht, gleichfalls invarianten Charakter.
Reviewer: Hellinger.

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI
References:
[1] ”Die Orthogonalinvarianten quadratischer Formen von unendlich vielen Veränderlichen.” Dissertation, Göttingen, 1907. ”Neue Begründung der Theorie quadratischer Formen von unendlich vielen Veränderlichen” (Habilitationsschrift). J. f. Math., Bd. 136. (Im folgenden zitiert als Habil.)
[2] Es ist dieselbe Veränderliche, mit deren Hilfe H. Lebesgue die Stieltjesschen Integrale auf seine Integrale zurückgeführt hat. C. R., Bd. 150 (1910), S. 86.
[3] Vgl. Hellinger, Diss., S. 74.
[4] Vgl. etwa Ch. J. de la Vallée Poussin, Cours d’Analyse infinitésimale, II(2. éd.), S. 268.
[5] Wird im folgenden eine Funktion als integrabel bezeichnet, so ist dies im Sinne von Lebesgue zu verstehen.
[6] De la Vallée Poussin, l. c. Cours d’Analyse infinitésimale, II (2. éd.), 269.
[7] Wir halten im folgenden konsequent daran fest, die Komplementärmenge einer MengeM mitCM zu bezeichnen.
[8] Siehe etwa de la Vallée-Poussin, l. c. Cours d’Analyse infinitésimale, II (2. éd.), S. pp267.
[9] Nach Nr. 2; denn jedes unbestimmte Integral ist unbestimmtes Integral seiner Ableitung.
[10] Gött, Diss., 1907, II. Abschnitt; Habil., § 4.
[11] Vgl. Hellinger, Diss., S. 26.
[12] An höchstens abzählbar unendlich vielen Stellen, an denen die Umkehrfunktionx(g) vong(x) nicht eindeutig ist, ist dannU(g) nicht definiert, was aber für die Integration gleichgültig ist.
[13] Vgl. Hellinger, Diss., S. 80 (Anhang).
[14] Das Zeichen lim bedeutet den in § 2 erläuterten Grenzübergang:n wächst über alle Grenzen, alleu k k gehen gegen Null.
[15] Näher ausgeführt bei Hellinger, Habil., S. 30.
[16] Es ist dies nichts anderes, als die Vollständigkeitsrelation, angewendet auf die Funktion, die vona bisu gleich 1, vonu bisb gleich 0 ist.
[17] Habil., S. 30, 38.
[18] Vgl. Nr. 29.
[19] Sowohl (A 1,B 1), als (A 2,B 2), als (A 1, 2,B 1, 2) kann sich dabei auf einen Punkt reduzieren.
[20] Vgl. § 3, Nr. 15, und Hellinger, Habil. S. 30.
[21] Man beachte, daß bei orthogonaler Transformation eines Systems orthogonaler Differentialformen die Basisfunktion ungeändert bleibt.
[22] An dieser Bezeichuungsweise halten wir konsequent fest, so daß im folgenden mits N(v) eine Funktion bezeichnet wird, die in allen Punkten einer MengeN derv-Achse gleich 1, sonst überall gleich 0 ist.
[23] Über die Eigendifferentialformen siehe Hellinger, Habil., Kap. II.
[24] Habil., S. 43 ff., wo aber alles unter Verwendung der Hellingerschen Integrale geschrieben ist.
[25] Dabei ist in (65) jedess \(\alpha\)(g) durch 1 zu ersetzen.
[26] Man beweist dies, so wie wir oben gezeigt haben, daß die MengenM 1, ...,M n,M 1 * , ...,M n+1 * gleichen Inhalt haben. In der Tat sind ja die in Rede stehenden Basisfunktionen nichts anderes, als der Inhalt gewisser einander entsprechender Teilmengen der eben genannten Mengen.
[27] Am einfachsten gestaltet sich der Beweis, wenn man beachtet, daß man nach Nr. 23 je zwei auf der rechten Seite von (110) stehende Summanden als von verschiedenen Variablen abhängig annehmen kann.
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. It attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming the completeness or perfect precision of the matching.