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Sur les équations intégro-différentielles et leurs applications. (French) JFM 43.0431.03
Das erste Kapitel der vorliegenden Arbeit enthält eine zusammenfassende Darstellung der Theorie der Integraldifferentialgleichung vom elliptischen Typus \[ \begin{split} \dfrac{\partial^2 u(xyz,t)}{\partial x^2}+ \dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}+ \dfrac{\partial^2 u}{\partial z^2}+ \int\limits_{0}{\vphantom{\int}}^{t}\left\{ \dfrac{\partial^2 u(xyz,\tau)}{\partial x^2}f(t,\tau)\right.\\ \left.+\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}\varphi(t,\tau)+ \dfrac{\partial^2 u}{\partial z^2}\psi(t,\tau)\right\}\,d\tau=0 \end{split} \] für beliebig gegebene Funktionen \(f\), \(\varphi\), \(\psi\); verwandte Fälle hat Verf. schon verschiedentlich behandelt (vgl. besonders F. d. M. 41, 402 (JFM 41.0402.*), 1910 und 42, 377, 1911). Es ergeben sich Sätze, die ganz analog denen über die partielle Differentialgleichung \(\varDelta u=0\) sind, vor allem das Eindeutigkeitstheorem, daß eine Lösung in einem Gebiete \(S\) des \(xyz\)-Raumes und für \(0 < t < T\) bestimmt ist, wenn für alle Werte von \(t\) auf dem Rande von \(S\) die Werte von \(u\) oder die des Ausdruckes \[ \dfrac{\partial u(xyz,t)}{\partial n}+ \int\limits_{0}{\vphantom{\int}}^{1}\left\{ \dfrac{\partial u(\tau)}{\partial x}f(t,\tau)\cos nx+ \dfrac{\partial u}{\partial y}\varphi(t,\tau)\cos ny+ \dfrac{\partial u}{\partial z}\psi(t,\tau)\cos nz\right\}\,d\tau \] gegeben sind. Die Bestimmung der Lösung wird zurückgeführt auf eine “Grundlösung” V der ”adjungierten” Integraldifferentialgleichung, die wie \(1/r\) singular wird, und die durch sukzessive Approximation von \(1/r\) aus entsteht; \(u\) wird durch \(V\) sowie die Randwerte von \(u\) und seinen ersten Ableitungen ausgedrückt.
Kap. II ist der “hereditären Elastizitätstheorie” gewidmet, die Verf. bereits in zahlreichen besonderen Fällen behandelt hat: die Spannungskomponenten zur Zeit t sollen nicht nur von den Werten der Deformationskomponenten im gleichen Zeitmoment, sondern auch von denen zu früheren Zeiten \(\tau\) (\(t_0\leqq\tau\leqq t\)) abhängen. Für den Fall linearer Abhängigkeit werden die allgemeinen Gleichungen der Elastizitätstheorie aufgestellt, die natürlich dann Integraldifferentialgleichungen sind, und werden speziell für den Fall des isotropen homogenen Körpers diskutiert.
Ein kurzes Schlußkapitel erörtert die Gestalt, die die elektrodynamischen Gleichungen erhalten, wenn die Werte der elektrischen (und magnetischen) Polarisation auch von den Werten der elektrischen (und magnetischen) Kraft während der Vorgeschichte explizit abhängen. Im Falle der Statik entstehen dann Gleichungen von der in Kap. I betrachteten Form.

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References:
[1] Rivista di Scienza, vol.10. Bologna 1907.
[2] Paris, Alcan, 1909.
[3] Rend. Acc. dei Lincei, Vol. III, 1887. Voir aussi Acta Mathematica, Vol. XII, 1889.
[4] Voir Chap. II, Art. 1er.
[5] Comptes rendus des séances de l’Ac. des Sciences. Vol. 142, page 691. 1er Sémestre 1906.
[6] Atti della R. Accademia delle Scienze di Torino, 1896.Sulla inversione degli integrali definiti. Nota I, § 3.
[7] Sopra la funzioni che dipendono da altre funzioni Nota I. Rend. Acc. dei Lincei, Vol. III, § 3.
[8] E. Betti:Teoria dell’ elasticità. Nuovo Cimento, 1872–73.
[9] Voir:Boltzmann,Zur Theorie der elastischen Nachwirkung. Wien. Ber. 70. S. 275–306. 1874; Pogg. Ann. Erg. – Bd. 7. S. 624, 1876; Wiss. Abl. Bd. 1. S. 616. Voir aussi:O. E. Meyer, Pogg. Ann. 154. S. 360;Wiechert,Gesetze der elastischen Nachwirkung.
[10] Une fonction biharmonique est une fonction qui vérifie l’équation{\(\Delta\)} 2 {\(\Delta\)} 2=0.
[11] Comparer:Somigliana,Sulle equazioni della elasticità, Annali di matematica, ser. II, t. XVI.
[12] Voir la citation faite dans la note de l’Art. 5ème.
[13] Voir la Note au § 4 de l’art. 7ème.
[14] Wiedemann’s Annalen, 40, page 577. Gesammelte Werke. Bd II, page 208.
[15] Voir Chap. II, Art. 1er, § 1.
[16] Voir Chap. II, Art. 1er, § 4.
[17] L’equazione integrale di Volterra di seconda specie con un limite dell’ integrale infinito. –Rendiconti delle R. Accademia dei Lincei Vol XX. Serie 5a. 1911 (Trois Notes).
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