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A generalization of Weierstraß’ preparation theorem for a power series in several variables. (English) JFM 43.0504.02
Der Verf. beweist durch den Schluß von \(n\) auf \(n+1\) folgende Verallgemeinerung des sogenannten “Weierstraßschen Vorbereitungssatzes”:
\(F_1, F_2,\ldots, F_n\) seien \(n\) in einem gewissen Bereich konvergente Potenzreihen der Veränderlichen \(x_1, x_2,\ldots, x_m\); \(y_1,y_1,\ldots, y_n\). \(F_\alpha\) weide für \(x_1=x_2=\cdots=x_m=0\) nach homogenen Polynomen der \(y\) geordnet; das Polynom niedrigsten Grades \(f_{\alpha}\) sei vom Grade \(\nu_\alpha\). Dann läßt sieh ein Polynom \(P(x_1,\ldots, x_m, y_n) = y^N_n+a_1y^{N-1}_n+\cdots+a_n\) vom Grade \(N = \nu_1.\nu_2\ldots\nu_n\) mit folgenden Eigenschaften bilden: Die \(a_1,\ldots,a_n\) sind konvergente Potenzreihen der \(x_1,\ldots,x_m\) ohne Absolutglieder; ihre Koeffizienten drücken sich rational durch die der Reihen \(F_\alpha\) aus, und als Nenner dieser rationalen Funktionen treten ausschließlich Potenzen der Resultante \(R\) der \(f_\alpha\) auf. Sind \(|x_1|,\ldots,|x_m|\), \(|y_1|,\ldots,|y_n|\) hinreichend klein, und ist \(x_1,\ldots,x_m\), \(y_1,\ldots, y_n\) ein Lösungssystem der \(n\) Gleichungen \(F_\alpha = 0\), so ist auch \(P(x_1,\ldots, x_m, y_n)=0\). Endlich gehört umgekehrt – und das ist im wesentlichen das Neue der Blissschen Untersuchung – zu jedem in hinreichend naher Umgebung der Nullstelle gelegenen Lösung \(x_1,\ldots,x_m\), \(y_1,\ldots, y_n\) der Gleichung \(P=0\) ein Lösungssystem \(x_1,\ldots,x_m\), \(y_1,\ldots, y_n\) der Gleichungen \(F_1= F_2 = \cdot = F_n = 0\).

Subjects:
Siebenter Abschnitt. Funktionentheorie. Kapitel 1. Allgemeines.
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