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Sur les couples de fonctions uniformes d’une variable correspondant aux points d’une courbe algébrique de genre supérieur à l’unité. (French) JFM 43.0505.03

1. Gewisse Sätze, die Landau und Carathéodory für den Fall einer analytischen Funktion der komplexen Veränderlichen \(z\) aufgestellt haben, lassen sich auf Paare von Funktionen übertragen, die den Punkten einer algebraischen Kurve von höherem Geschlechte als 1 entsprechen. Während aber dort Ausnahmewerte auftreten, ergibt sich, daß hier die Betrachtung solcher Werte nicht erforderlich ist.
2. Nach Landau (F. d. M. 35, 401 (JFM 35.0401.*), 1904) kann bei einer Potenzreihe \[ a_0+a_1z+\cdots\qquad (a_1\neq 0) \] mit dem Konvergenzradius \(R\), die im Innern des Konvergenzkreises \(C\) die Werte 0 und \(1\) nicht annimmt, der Konvergenzradius \(R\) eine gewisse, allein von den Koeffizienten \(a_0\) und \(a_1\) abhängige Grenze nicht überschreiten. Der entsprechende Satz für Funktionenpaare lautet folgendermaßen. Man betrachte den ordinären Punkt \((a,b)\) einer algebraischen Kurve \(f(x,y)=0\), deren Geschlecht größer als 1 ist. An Stelle von \(x\) setze man in die Gleichung \(f(x, y)=0\) eine analytische Funktion von \(z\) ein, die in einer gewissen Umgebung des Punktes \(z=0\) meromorph ist, und die sich für \(z=0\) regulär verhält, so daß die Entwicklung gilt: \[ x=a_0+a_1z+\cdots. \] Alsdann bestimme man \(y\) aus der Gleichung \(f(x,y)=0\) als Funktion von \(z\), und zwar so, daß \(y\) für \(z=0\) den Wert \(b\) annimmt. Die beiden so erhaltenen Funktionen \(x\) und \(y\) von \(z\) können nicht gleichzeitig meromorph sein in einem Kreise um den Punkt \(z=0\), dessen Radius eine gewisse Grenze übersteigt, die allein von den Koeffizienten \(a_0\) und \(a_1\) der Entwicklung von \(x\) abhängt, also nicht von den folgenden Koeffizienten.
3. Nach Landau und Carathéodory (F. d. M. 42, 275 (JFM 42.0275.*), 1911) gilt der Satz: Sind die Funktionen \[ f_1(z), f_2(z),\ldots,f_n(z),\ldots \] in dem Kreise \(C\) vom Radius 1 um den Punkt \(z=0\) holomorph, und nimmt keine dieser Funktionen in \(C\) zwei voneinander verschiedene konstante Werte \(a\) und \(b\) an, so besitzt die Funktionen folge \([f_n(z)]\) für alle Punkte im Innern von \(C\) eine Grenze, und die Grenzfunktion ist im Innern von \(C\) unter der Bedingung holomorph, daß eine Grenze \[ \lim_{n=\infty} f_n (z) \] für unendliche viele Punkte von \(C\) vorhanden ist, die wenigstens einen Häufungspunkt im Innern von \(C\) besitzen. Der entsprechende Satz für Funktionenpaare lautet folgendermaßen. Es seien \[ (x_1,y_1),(x_2,y_2),\ldots,(x_n,y_n),\ldots \] Paare von Funktionen der Veränderlichen \(z\), die der Gleichung von höherem Geschlecht als 1: \(f(x,y)=0\) genügen und im Innern eines Kreises \(C\) mit dem Mittelpunkt \(z=0\) meromorph sind. Alsdann besitzt die Folge von Funktionenpaaren \([(x_n,y_n)]\) für alle Punkte im Innern von \(C\) ein Paar von Grenzfunktionen, und die Grenzfunktionen sind im Innern von \(C\) meromorph unter der Bedingung, daß \[ \lim_{n=\infty} (x_n, y_n) \] für unendliche viele Punkte im Innern von \(C\) vorhanden ist, die wenigstens einen Häufungspunkt im Innern von \(C\) besitzen.
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References:

[1] Sur une proposition concernant les fonctions uniformes ďune variable liées par une relation algébrique [Bulletin des Sciences Mathématiques et Astronomiques, 2e série, t. VII (1883), ière partie, pp. 107–116];Démonstration ďun théorème general sur les fonctions uniformes liées par une relation algébrique [Acta Mathematica, t. XI (1887), pp. 1–12].
[2] La démonstration suppose seulement que les fonctions ont une branche uniforme dans le voisinage ďun point singulier essentiel isolé, sans qu’intervienne la façon dont elles se comportent ailleurs.
[3] Voir la notice sur les travaux scientifiques deM. Poincaré (Paris, Gauthier-Villars, 1886), page 38.
[4] On peut voir pour la bibliographie un Mémoire récent deMM. Carathéodory et Landau :Beiträge zur Konvergenz von Funktionenfolgen [Sitzungsberichte der Kgl. Preussischen Akademie der Wissenschaften, Jahrgang 1911, pp. 587–613 (séance du 18 mai 1911)]. On consultera aussi, sur ce sujet, deux Notes importantes deM. P. Montel :Sur les fonctions analytiques qui admettent deux valeurs exceptionnelles dans un domaine [Comptes rendus hebdomadaires des séances de ľAcadémie des Sciences (Paris), t. CLIII (21 semestre 1911), pp. 996–998 (séance du 20 novembre 1911)];Sur ľindétermination ďune fonction uniforme dans le voisinage de ses points essentiels [Ibid., id., pp. 1455–1456 (séance du 26 décembre 1911)].
[5] Voir laCorrespondance ďHermite et deStieltjes (Paris, Gauthier-Villars), t. II (1905), p. 368.
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