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Sur les familles de fonctions analytiques qui admettent des valeurs exceptionnelles dans un domaine. (French) JFM 43.0509.05
Unter einer “normalen Funktionenfamilie” versteht der Verf. eine Menge \(F\) von Funktionen, die sämtlich in einem gegebenen Gebiete \(D\) regulär sind und außerdem folgende Eigenschaft besitzen: Aus jeder unendlichen Menge von Funktionen der Familie kann man eine abzählbare unendliche Teilmenge \(f_1(x)\), \(f_2(x),\ldots\) herausgreifen der Art, daß die Reihe \(f_1(x)+(f_2(x)-f_1(x))+(f_3(x)-f_2(x))+\cdots\) entweder gleichmäßig in \(D\) nach einer Grenzfunktion \(f(x)\) konvergiert oder gleichmäßig divergiert. Beispiele von normalen Funktionenfamilien erhält man, wenn man zu der Bedingung der Regularität in einem Gebiete \(D\) eine der folgenden hinzunimmt: 1. Die Funktionen \(f(x)\) der Familie nehmen Werte \(X\), die im Inneren (oder auf dem Rande) einer geschlossenen Kurve der \(X\)-Ebene liegen, in \(D\) nicht an. 2. Die Funktionen \(f(x)\) nehmen die Werte \(X\), die auf einer gegebenen offenen Kurve liegen, in \(D\) nicht an. 3. Die Funktionen \(f(x)\) nehmen die zwei Werte 0 und 1 in \(D\) nicht an. Für den letzten Beweis benutzt der Verf. die Theorie der Modulfunktion.
Der Begriff der normalen Funktionenfamilien erweist sich als nützlich und fruchtbar beim Studium der Picardschen Sätze und ihrer Verallgemeinerungen. Der Verf. beweist zunächst sehr einfach die beiden bekannten Picardschen Sätze: 1. Jede ganze transzendente Funktion nimmt jeden Wert außer höchstens einem unendlich oft an. 2. In jeder noch so kleinen Umgebung einer wesentlich singulären Stelle nimmt jede eindeutige Funktion jeden Wert außer höchstens zweien unendlich oft an. Der erste Satz ergibt sich z. B. folgendermaßen: Die Funktionen \(f(x)\), die im Kreise \(|x| = R\) regulär und von 0 und 1 verschieden sind, und die außerdem für \(x=0\) alle den Wert \(a_0\) annehmen, bilden eine normale Familie. Daraus folgt, daß diese Funktionen für \(|x|\leqq\dfrac R2\) unter einer endlichen Grenze \(M(a_0)\) bleiben, und man sieht leicht, daß \(M(a_0)\) von \(R\) unabhängig ist. Eine ganze transzendente Funktion, die nie gleich 0 und nie = 1 ist, bleibt daher unterhalb einer endlichen Grenze und ist mithin eine Konstante.
Ebenso einfach beweist der Verf. den zweiten Picardschen Satz, sowie gewisse Verallgemeinerungen Lindelöfs, die er noch weiter ausdehnt; z. B.: Wenn \(f(x)\) im Innern eines Sektors \(A\) \(O\) \(B\) regulär und von 0 und 1 verschieden und wenn ferner \(\lim f(x) = \alpha\) ist, sobald \(x\) auf einem Strahl \(OL\) innerhalb des Sektors der Null zustrebt, dann strebt \(f(x)\) gleichmäßig dem Werte \(\alpha\) zu, falls \(x\) sich irgendwie innerhalb eines ganz innerhalb \(A\;O\;B\) gelegenen Sektors \(A'\;O\;B'\) der Null nähert.
Auch den berühmten Landauschen Zusatz zum Picardschen Satz verknüpft der Verf. mit seinen Untersuchungen.
Endlich betrachtet er ganz allgemein Folgen von Funktionen \(f_1(x)\), \(f_2(x),\ldots\), \(f_n(x),\ldots\), die in \(D\) regulär sind und einer normalen Familie angehören, und beweist: Wenn die Folge für unendlich viele Punkte von \(D\) mit einer Häufungsstelle innerhalb \(D\) konvergiert, so konvergiert sie für alle Punkte von \(D\), und die Konvergenz ist für jedes ganz innerhalb \(D\) gelegene Gebiet eine gleichmäßige.
In diesem Satze sind alle bisher gefundenen Erweiterungen des Weierstraßschen Doppelreihensatzes enthalten. Neben den normalen Funktionenfamilien betrachtet der Verf. noch etwas allgemeinere Familien, zu denen unter anderem die Funktionen gehören, die in \(D\) regulär sind und daselbst die Werte 0 und 1 höchstens \(p\)-mal annehmen. Auch über diese Funktionenfamilie gelangt der Verf. zu allgemeinen Resultaten im Zusammenhang sowohl mit dem Picardschen Satz, als mit den Erweiterungen des Weierstraßschen Doppelreihensatzes.

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Full Text: DOI Numdam EuDML