Beweis des ebenen Translationssatzes. (German) JFM 43.0569.02

Brouwer, L. E. J.

Math. Ann. 72, 37-54 (1912).

Der Verf. nennt eine Punktmenge der kartesischen Ebene eine einfache offene Linie, wenn sie ihre Grenzpunkte enthält und eineindeutiges und stetiges Bild der geraden Linie ist. Hat man nun in der Ebene eine eineindeutige, den Umlaufssinn nicht ändernde Transformation, und gibt es ein Gebiet, das außerhalb seines Bildgebietes liegt, und das von zwei einander nicht treffenden einfachen offenen Linien begrenzt wird, deren eine das Bild der ändern ist, so heißt dieses Gebiet ein zu der Transformation gehöriges Translationsfeld. Gehört überdies jeder Punkt der Ebene einem solchen Translationsfelde an, so heißt die Transformation eine Translation über die ganze Ebene. Der ebene Translationssatz, der vom Verf. bewiesen wird, besagt dann, daß die Transformation immer dann eine Translation über die ganze Ebene ist, wenn sie keinen Punkt invariant läßt.

Reviewer: Engel, Prof. (Gießen)

JFM Section:

Achter Abschnitt. Reine, elementare und synthetische Geometrie. Kapitel 2. Kontinuitätsbetrachtungen (Analysis situs, Topologie).

References:

[1]	Vgl. Math. Ann. 69, wo der Satz S. 179 formuliert und S. 199 angewandt wird, Ich mache hier darauf aufmerksam, daß die Identifizierung jedes Punktes mit seinem Bildpunkte nicht immer aus der Ebene eine neue Fläche zu erzeugen braucht, wie dies bei der zitierten gruppentheoretischen Anwendung der Fall ist.
[2]	Amsterd. Ber., holl. Ausg. 19, S. 737; engl. Ausg. 13, S. 767.
[3]	ibid., Amsterd. Ber., holl. Ausg. 19, S. 741; engl. Ausg. 13, S. 771.
[4]	Amsterd. Ber., holl. Ausg. 20, S. 26; engl. Ausg. 14, S. 302.