Recherches sur la dynamique du fil flexible. (French) JFM 43.0835.03

Roy, L.

Ann. de l’Éc. Norm. (3) 29, 371-429 (1912).

Der Verf. spricht sich über den Inhalt dieser umfangreichen Arbeit folgendermaßen aus:
“Die Bewegungsgleichungen der biegsamen Fäden hat man in ihrer endgültigen Gestalt bald nach den Bewegungsgleichungen der Flüssigkeiten erhalten. Während diese aber sehr zahlreiche Arbeiten in ihrem Gefolge gehabt haben, sind jene eingehend nur in dem besonderen Falle der schwingenden Saiten durchforscht worden. Wir haben den Versuch gemacht, auf die Bewegung der Fäden die Theorie der Unstetigkeiten in der Hydrodynamik anzuwenden, mit der hauptsächlich die Namen Hugoniot, Hadamard und Duhem verknüpft sind. Auf diese Weise haben wir die Formeln verallgemeinern können, welche die Fortpflanzungsgeschwindigkeiten longitudinaler und transversaler Erschütterungen längs einer vibrierenden Saite geben; ebenso haben wir für die Unstetigkeiten erster Ordnung andere Formeln erhalten, die den von Jouguet und Duhem in der Theorie der Stoßwellen aufgestellten entsprechen. In einem letzten Kapitel haben wir die Gleichungen der kleinen Bewegungen um eine Gleichgewichtslage hergeleitet und haben das Problem der schwingenden Saite unter Berücksichtigung ihrer Viskosität behandelt. Bei der Aufstellung der Gleichungen sind wir der von D u h e m in “Hydrodynamik, Elastizität, Akustik” gefolgt und haben Anregungen aus seinen “Untersuchungen über die Hydrodynamik” erhalten, als wir der Viskosität Rechnung trugen und die Unstetigkeiten erster Ordnung untersuchten.”
Die verschiedenen Noten, in denen der Verf. Bruchstücke aus dieser Abhandlung 1911 und 1912 der Pariser Akademie vorgelegt hat, sind in unseren Berichten angezeigt worden. Die vorstehenden Worte klären aber erst darüber auf, welche Zwecke der Verf. mit seiner Arbeit verfolgt hat, und die klare zusammenhängende Darstellung vermittelt ein besseres Verständnis jener kurzen Noten.
Im ersten Kapitel werden die allgemeinen Gleichungen der Bewegung der Fäden aufgestellt, ferner die der Hydrodynamik entsprechenden Begriffe definiert und analytisch in Formeln gebracht. Als Beispiel diene die Formel, die nach den Prinzipien der Energetik für jede virtuelle isothermische Modifikation des Fadens gilt: \[ \delta\mathfrak T_e + \delta\mathfrak T_v - \delta _TF+ \delta \dot J=0. \] Hierin bezeichnet \(\delta\mathfrak T_e\) die Elementararbeit der äußeren Kräfte, \(\delta\mathfrak T_v\) die der Aktionen der Viskosität, \(\delta \dot J\) die der Trägheitskräfte, \(\delta _TF\) die isothermische Variation des inneren thermodynamischen Potentials. Es ist klar, daß in einem kurzen Referate auf eine Darstellung aller dieser Begriffe nicht eingegangen werden kann. Die einzelnen Abschnitte des Kapitels sind betitelt: I. Vorbegriffe; Kontinuitätsgleichung. II. Bewegungsgleichungen. III. Temperaturgleichungen.
Das zweite Kapitel behandelt die Unstetigkeiten unter dem kinematischen Gesichtspunkte. Es seien \(\boldsymbol\varphi _1(\boldsymbol\omega,t)\) und \(\boldsymbol\varphi _2(\boldsymbol\omega,t)\) zwei eindeutige analytische Funktionen der Zeit \(t\) und der Bogenlänge \(\boldsymbol\omega \) zwischen zwei Punkten \(m_1\) und \(m_2\) des Fadens. In einem Punkte \(m\) zwischen \(m_1\) und \(m_2\) seien \(\boldsymbol\varphi _1\) und \(\boldsymbol\varphi _2\) mit ihren sämtlichen partiellen Ableitungen bis zur Ordnung \(n - 1\) einschließlich einander gleich; dagegen existiert wenigstens eine partielle Ableitung der Ordnung \(n\) von \(\boldsymbol\varphi _1\), die nicht der entsprechenden von \(\boldsymbol\varphi _2\) gleich ist. Dann sagt man, eine Funktion \(\boldsymbol\varphi \), die gleich \(\boldsymbol\varphi _1\) ist in \(m_1m\) und gleich \(\boldsymbol\varphi _2\) in \(mm_2\), habe den Punkt \(m\) als Unstetigkeitspunkt von der Ordnung \(n\) (Duhem, Recherches sur l’hydrodynamique. 1904). Hiernach sind die Titel der Abschnitte dieses Kapitels wohl verständlich. I. Die Unstetigkeiten und ihre Fortpflanzungsgeschwindigkeiten. II. Die Unstetigkeiten erster Ordnung. III. Die Unstetigkeiten höherer Ordung.
Das dritte Kapitel enthält eine eingehende Behandlung der Unstetigkeiten erster Ordnung in den Abschnitten: I. Ausdehnung der Fundamentalgleichung auf die Unstetigkeiten erster Ordnung. II. Anwendung der vorangehenden Gleichung. III. Fall eines vollkommenen Fadens. IV. Fall eines mit Viskosität behafteten Fadens.
Im vierten Kapitel geht der Verf. ebenso auf die genauere Erforschung der Unstetigkeiten höherer Ordnung ein. I. Die Unstetigkeiten zweiter Ordnung in den mit Viskosität behafteten Fäden. II. Die Unstetigkeiten von einer Ordnung \(n>2\) in den mit Viskosität behafteten Fäden. III. Die Unstetigkeiten von der Ordnung \(n>1\) in den vollkommenen Fäden. IV. Zusammenfassung. In diesem Schlußabschnitte des vierten Kapitels gibt der Verf. auf beinahe zwei Quartseiten eine Übersicht über die gewonnenen Hauptresultate in betreff der Unstetigkeiten der verschiedenen Ordnungen und der Geschwindigkeiten ihrer Fortpflanzung.
Das letzte Kapitel beschäftigt sich endlich mit den kleinen Bewegungen der Fäden in den Abschnitten: I. Kleine Bewegungen um eine Lage stabilen Gleichgewichts. II. Die Gleichungen der kleinen Bewegungen gestatten nur eine einzige Lösung. III. Bewegung eines gespannten Fadens, dessen eines Ende befestigt ist, dessen anderes Ende eine vorgegebene Bewegung ausführt. IV. Untersuchung einer Partikularlösung. V. Berechnung der Funktion \(\psi \). VI. Besondere Fälle: Mittel zur experimentellen Bestimmung des Viskositätskoeffizienten.

Reviewer: Lampe, Prof. (Berlin)

JFM Section:

Zehnter Abschnitt. Mechanik. Kapitel 4. Dynamik. A. Dynamik fester Körper.