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Fondamenti per la geometria sopra le superficie razionali dal punto di vista reale. (Italian) JFM 43.1107.02

“Sowohl wegen der Schwierigkeit des Gegenstandes, als auch wegen des Mangels an aussichtsvollen Wegen sowie unter dem Reize der Anziehungskraft und der Fruchtbarkeit der neueren Untersuchungen auf dem Gebiete der Theorie per algebraischen Funktionen zweier Veränderlichen haben die Geometer die Fragen der Realität der algebraischen Gebilde liegen lassen, um anderen Wegen nachzugehen. Oder wenn sie irgendeinen Schritt nach neuen Zielen versucht haben, so hat sie der Trieb des Verallgemeinerns eher zum Erweitern als zum Beschränken des Feldes der Gebilde und der zu erforschenden Eigenschaften geführt. So ist es gekommen, daß in dem Gebiete der reellen Eigenschaften der reellen algebraischen Oberflächen (d. h. solcher, deren Gleichungen reelle Koeffizienten haben) wenig oder nichts geschehen ist, außer bei besonderen Oberflächen oder ganz beschränkten Klassen und mehr in der projektiven Richtung nach Art des Gebrauches in der darstellenden Geometrie als nach der umfassenderen, überall gebilligten Richtung auf einen solchen Fall, wie es der der Invarianz gegenüber birationalen, reellen Transformationen ist. Hiervon rührt es her, daß viele allgemeine Probleme noch ihrer Lösung harren, z. B. eine Beziehung zwischen der Anzahl der reellen Schalen (oder ihrer größten Zahl) und irgendeiner der geometrischen Invarianten einer reellen algebraischen Oberfläche zu ermitteln, d. h. das entsprechende Problem zu dem, das für die reellen algebraischen Kurven von Harnack gelöst ist.
Die gegenwärtige Abhandlung ging ursprünglich auf die Lösung eines derartigen Problems für die rationalen reellen Oberflächen aus; aber die von Anfang an gebrauchten Verfahren, um zur Lösung zu gelangen, entschleierten allgemeine interessante Eigenschaften, welche die zu durchforschende Aufgabe in die zweite Linie rückten im Hinblick aur viele andere, deren Lösung durch die nämlichen Methoden ermöglicht wurde.
Das Interesse an diesen Problemen hat mich bewogen, diese Untersuchung als eine allgemeine Forschuno; über reelle rationale Oberflächen von dem Gesichtspunkte der Invarianz in bezug auf die reellen rationalen Transformationen zu bezeichnen, indem ich die bezügliche Klassifizierung und die mit ihr verbundenen Invarianten aufstelle und als besonderen Fall die Lösung des erwähnten Problems einbegreife. In der Untersuchung bediene ich mich hauptsächlich zweier Betrachtungen:
1. Ich verknüpfe mit der Abbildung einer reellen rationalen Oberfläche \(F \) auf einer Ebene \(\pi\) jene involutorische Transformation \(T\) von \(\pi\), die das Bild der Konjugierten (coniugio) von \(F\) ist. Die \(T\) gehört zu der Klasse solcher Transformationen, die in \(\pi\) durch das Multiplizieren birationaler Transformationen durch die Konjugierte entstehen, und die ich antibirational genannt habe in Ausdehnung der Benennung Antiprojektivität, die Segre einem besonderen Fall von ihr gegeben hat; sie kommt auf die Konjugierte von \(\pi\) nur zurück, wenn die Abbildung von \(F\) auf \(\pi\) in reeller Weise ausgeführt wird, was im allgemeinen nicht möglich ist, weil, wenn \(F\) reell ist, ihre ebene Abbildung im allgemeinen die Einführung imaginärer Zahlen in die Transformationskoeffizienten erfordert.
2. Ich betrachte reelle lineare Systeme (d. h. solche, die von der Konjugierten in sich selbst verwandelt werden), zu denen man auf \(F\) gelangt mittels des Verfahrens allmählicher Adjunktion, das angewandt wird mit dem Ausgangspunkte von einem reellen linearen System in allgemeinen Bedingungen”.
I. § 1. Allgemeine Fragen über einige reelle algebraische Gebilde. § 2. Antibirationale involutorische Transformationen in der Ebene und ihre Beziehung zur Abbildung der reellen rationalen Oberflächen. § 3. Einige grundlegende Eigenschaften bezüglich der ebenen Abbildung der rationalen Oberflächen.
II. § 4. Die rationalen reellen Oberflächen, betrachtet als reelle Doppelebenen. § 5. Reelle Schalen der rationalen Oberflächen. Ihre Beziehung zu den antibirationalen involutorisehen Transformationen, die mit der ebenen Abbildung der Oberfläche zusammenhängen.
III. § 6. Schließlich irreduzible Typen von antibirationalen involutorischen Transformationen. Grundlagen für die Klassifizierung der rationalen reellen Oberflächen gegenüber dem Körper der birationalen reellen Transformationen. Beziehung zwischen der Anzahl der Schalen und dem kleinsten Wert der Invariante \(I\) von Zeuthen-Segre. § 7. Weitere Untersuchungen über die charakteristischen linearen Systeme für die Familien rationaler reeller Oberflächen. Moduln dieser Oberflächen und der antibirationalen involutorischen Transformationen: ihre Anzahl und ihre geometrische Deutung.
Die reichen Ergebnisse der großen Arbeit müssen im Original nachgelesen werden.

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References:

[1] Per la bibliografia relativa vedi L. Berzolari,Allgemeine Theorie der höheren ebenen algebraischen Curven, inEncyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluß ihrer Anwendungen. III. 2, Heft 3, n. 19-20, pp. 383-392.
[2] Riemannsche Flächen (Zweiter Abdruck, Göttingen 1894), II, 3. Teil, pp. 131-214.
[3] Voglio alludere alle belle ricerche di Segre sugli enti iperalgebrici. Vedi la Nota*) pag. 7 del testo.
[4] Vedi la nota al § 5 del testo.
[5] Debbo segnalare una recentissima Nota del Prof. Enriques intitolata:Alcune osservazioni intorno alle superficie razionali reali (Rendiconti della R. Accademia di Bologna, 14 gennaio 1912) dedicata ad alcune questioni riguardanti la connessione delle superficie razionali conuna falda.
[6] Per una trattazione più diffusa e completa di tali questioni e di moltissime altre analoghe rimandiamo il lettore alle belle Memorie di Segre ?)Un nuovo campo di ricerche geometriche, [Atti della R. Accademia delle Scienze di Torino 25 (1889-90) pp. 276-301, 430-457, 592-612, e 26 (1890-91) pp. 35-71], ?)Le rappresentazioni reali delle forme complesse e gli enti iperalgebrici [Mathematische Annalen 40 (1892) pp. 413-467)].
[7] Si potrebbe dimostrare che la possibilità di segare il sistema |C| mediante un sistema reale è conseguenza diretta dell’esistenza di curve reali entro |C|. Sicchè insomma i sistemi di dimensione pari contengono sempre curve reali; quelli di dimensione dispari possono invece non contenrene. Se si rappresentano le curve di |C| coi punti di uno spazio realeS t , la corrispondenza fra le curve coniugate di |C| determina inS t unaantiproiettività involutoria. Dunque set è pari tale corrispondenza ha sempre. punti uniti, mentre può non averne set è dispari. Cfr. Segre, Memoria citata *) pag. 7, ?) p. 431, 432.
[8] Segre, Memoria citata *) pag. 7, ?) p. 427-428. Scindendo ogni coordinata complessa nelle sue componenti reali, le (8) definiscono una trasformazione razionale fra gli spaziS 4 dove si rappresentano queste componenti. Le trasformazioni antirazionali sono dunque particolari trasformazioni iperalgebriche. Segre, Memoria citata *) pag. 7, ?) p. 438.
[9] La denominazione è di Segre, Memoria citata *) pag. 7, ?) p. 429
[10] Un analogo procedimento per uno scopo non sostanzialmente diverso si trova in Klein, Riemannsche Flächen (Göttingen 1894 (Zweiter Abdruck)), II, pp. 133-134.
[11] Bianchi,Teoria delle funzioni di una variabile complessa e delle funzioni ellittiche (Pisa, Spoerri 1901) § 13 p. 42 nota (1).
[12] Segre, Memoria citata *) pag. 7, ?) p. 432-33.
[13] Si vede subito che l’antiproiettività subordinata sulla generica retta unita non èdegenere.
[14] Bertini,Sopra una classe di trasformazioni univoche involutorie [Annali di Matematica, (2)7 (1877), pp. 11-23] no4, p. 14, no 15 p. 19. · JFM 09.0577.04
[15] Cfr. il procedimento analogo di Bertini, loco cit. no4, p. 14, no15, p. 19. no 4, p. 13.
[16] Ferretti,Sulla riduzione all’ ordine minimo dei sistemi lineari di curve piane irriducibili di genere p; in particolare per i valori 0, 1, 2 del genere (Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 16 (1912) p. 236-279) § III teor. VII e IX. In questa Memoria l’A. dimostra (tenendo conto di un’ obiezione che era stata mossa alla dimostrazione del teorema sulla riducibilità delle trasformazioni cremoniane a trasformazioni quadratiche) i teoremi sulla riducibilità dei sistemi lineari di curve piane mediante trasformazioni cremoniane stabiliti da Noether, Bertini, Guccia, Martinetti, Jung, De Franchis. Rimandiamo ad essa per le relative citazioni. Veramente anche per i sistemi di curve razionali i teoremi di Ferretti danno qualcosa di più di quello che a noi occorre, poichè si riferiscono a sistemi di dimensione virtualeK??1. Nel nostro caso èK=0 (formola (15)) e perciò è applicabile il teor. IX. · JFM 33.0611.02
[17] loco cit (nota prec.); leggere la dimostrazione del teorema III al § II. · JFM 33.0611.02
[18] Il sistema ? potrebbe avere dei punti baseproprî, ma questi non danno luogo anuove curve fondamentali, perchè derivano da curve fondamentalinon semplici (cf. Oss. II, no 17) diS.
[19] I casi I, II, si trovano nella Memoria di Caporali,Sopra i sistemi lineari triplamente infiniti di curve piane (In memoriam Dominici Chelini?Collectanea Mathematica?nunc primum edita cura et studio L. Cremona et E. Beltrami [Mediolani Hoepli 1881] pp. 144-177), a pag. 147. Il Caporali si pone in ipotesi generiche per il sistemaS: allora il caso III non si presenta. Nelle nostre ipotesi si può provarne l’esistenza con effettivi esempî anche assai semplici.
[20] I casi I, II, si trovano nella Memoria di Caporali,Sopra i sistemi lineari triplamente infiniti di curve piane (In memoriam Dominici Chelini?Collectanea Mathematica ?nunc primum edita cura et studio L. Cremona et E. Beltrami [Mediolani Hoepli 1881] pp. 144-170), a pag. 147. Il Caporali si pone in ipotesi generiche per il sistemaS: allora il caso III non si presenta. Nelle nostre ipotesi si può provarne l’esistenza con effettivi esempî anche assai semplici. *)loco cit. *) p. 24§ III{\(\deg\)}teor. VII.
[21] Segre,Intorno ad un carattere delle superficie e delle varietà superiori algebriche (Atti della R. Accademia delle Scienze di Torino 31 (1895-96). · JFM 27.0454.01
[22] Cfr. p. es. Severi,La base minima pour la totalité des courbes tracées sur une surface algébrique (Annales de l’Ecole Normale Supérieure de Paris 25 (1908), pp. 449-468) nota 1, pag. 466.
[23] Appendice alla Memoria di Enriques,Sui piani doppi di genere uno [Memorie della Società Italiana delle Scienze (detta dei XL) (3) 10 (1896) pp. 201-224] p. 222. L’enunciato è al no 7 p. 208 della Memoria. In esso si parla di sistema lineareprivo di curve fondamentali proprie, e quindi dipunti base proprî i quali equivalgono a curve fondamentali in generaleproprie.
[24] Anzi la trasformazione considerata si compierazionalmente a partire dallaF. Cfr. la Memoria di Enriques,Sulle irrazionalità aritmetiche da cui può farsi dipendere la risoluzione di un’ equazione algebrica f(xyz)=0 con funzioni razionali di due parametri. [Math. Ann. 49 (1897), p. 1-23] ni 6. 7. 8. La riduzione delle superficie razionali a piani doppi reali si potrebbe eseguire partendo dai risultati di questa Memoria, ma riescirebbe un po’più lunga e meno diretta. Il procedimento che noi abbiamo seguito fu tuttavia suggerito da quello di cui si serve l’A. ai ni 5, 6 della memoria stessa.
[25] Ferretti,loco cit. § III teor. VII e IX. In · JFM 33.0611.02
[26] Nöther, Bertini, più completamente Castelnuovo-Enriques,Sulle condizioni di razionalità dei piani doppi. [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 14 (1900), pp. 290. 302]. · JFM 31.0658.02
[27] Cfr. Bertini,Deduzione delle trasformazioni piane dai tipi fondamentali delle involutorie [Rendiconti del R. Istituto Lombardo (2) 22 (1889), pp. 771-778], no3. · JFM 21.0607.01
[28] Molte delle cose esposte ai ni 28-29 sono note: cfr. p. es. Bertini,loco cit. *) p. 37. · JFM 33.0611.02
[29] Zeuthen,Etude des propriétés de situation des surfaces cubiques [Math. Ann. 8, pp. 1-30]. · JFM 06.0505.01
[30] Zeuthen,Sur les courbes du quatrième ordre [Math. Ann. 7 (1873) pp. 410-432]. Alcuni dei risultati di questa Memoria si potrebberoricavare facendo uso dei nostri metodi: per brevità ci dispensiamo dall’ esporre quanto riguarda tale ricerca.
[31] Le relazioni fra i rami reali e i piani tritangenti di una sestica sghemba di genere 4 furono studiate da Klein,Über Realitätsverhältnisse bei der einem beliebigen Geschlecht zugehörigen Normalkurve der ? [Math. Ann. 42 (1893), pp. 1-29]. Pascal,Le varie forme delle curve storte di 6{\(\deg\)} ordine, ecc [Rend. dell’ Ist. Lomb. (2) 38 (1905), pp. 579-598]. Però il ragionamento da me seguito e alcune delle conclusioni ricavate mi hanno persuaso ad esporre una nuova e breve dimostrazione. · JFM 25.0689.03
[32] Harnack,Über die Vielteiligkeit der ebenen algebraischen Kurven [Math. Ann. 10 (1876) pp. 189-198].
[33] Si potrebbe ricavare questa diseguaglianza dalla proprietà nota, che la somma delle molteplicità nei tre punti in cui è più elevata, dev’essere maggiore dell’ordine diC. Cfr. p. es. Caporali loco cit (*) p. 28 no1. Noi per maggior chiarezza sull’ applicabilità del procedimento, esponiamo quì una breve dimostrazione, adatta al nostrocaso.
[34] Castelnuovo, loco cit. p. 34
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