Quelques propriétés des substitutions linéaires à coefficients \(\geqq 0\) et leur application aux problèmes de la production et des salaires. (French) JFM 44.0162.02

Potron, M.

Ann. de l’Éc. Norm. (3) 30, 53-76 (1913).

Einen Teil deutschen Lesern aus den Arbeiten von Frobenius und Perron schon bekannter Resultate über Matrizen mit nicht negativen Elementen leitet der Verf. hier zunächst ab. Sie beziehen sich wesentlich auf die Wurzeln der charakteristischen Gleichung vom größten absoluten Betrag und auf die positiven linearen Funktionen, die sich bei Ausübung der zur Matrix gehörigen Substitution mit einem positiven Faktor multiplizieren; dieser positive Faktor ist eine Wurzel vom größten absoluten Betrage. Unter den Wurzeln vom größten absoluten Betrage ist immer eine positive enthalten, die einfach ist, wenn die Koeffizienten der Matrix wesentlich positiv sind, die aber im Falle zum Teil verschwindender Koeffizienten auch mehrfach sein kann. Dann ist aber die Matrix zerlegbar. Bei unzerlegbaren Matrizen gibt es dann auch nur eine lineare Funktion mit positiven Koeffizienten, die sich mit einem positiven Faktor multipliziert; bei zerlegbaren Matrizen gibt es mehrere derartige lineare Funktionen, die der Verf. alle bestimmt. Von einem Teil dieser und noch einiger weiteren Sätze gibt der Verf. eine Anwendung auf die Möglichkeit einer vollen Bilanz aller auf der Welt sich abwickelnden Geschäfte. Der Verf. kommt zu dem nicht überraschenden Resultat, daß es in der Tat möglich ist, die Gehälter, die Löhne, die Preise aller Artikel so zu fixieren, daß-jeder das erhält, was er zum Leben braucht, und daß kein Geschäftsmann Verluste erleidet. Das alles unter der Voraussetzung, daß die Ansprüche der einzelnen, die technischen Hülfsmittel und die Verwaltungseinrichtungen richtig gewählt sind. Die Frage, ob das bei dem augenblicklichen Stande unserer Technik usw. möglich wäre, bleibt natürlich offen, da darüber die Theorie allein keinen Aufschluß gibt.

Reviewer: Bieberbach, Prof. (Frankfurt a. M.)

JFM Section:

Zweiter Abschnitt. Algebra. Kapitel 3. Substitutionen undGruppentheorie, Determinanten, Elimination und symmetrische Funktionen. A. Substitutionen und Gruppentheorie.