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Theorems and tables on the sum of the divisors of a number. (English) JFM 44.0221.02

Es sei \(s(n)\) die Summe der Teiler der natürlichen Zahl \(n\), kleiner als \(n\); man schreibe ferner für \(s(s(n))=s^2(n)\). E. Catalan hat die Vermutung ausgesprochen, daß die Reihe
\[ s(n),s^2(n),\dots,s^{k-1}(n),\dots \]
entweder auf 1 oder eine vollkommene Zahl \((s(n) = n)\) führe. Da \(s(p) = 1\) für jede Primzahl \(p\), so kann man den Satz so formulieren, daß die obige Reihe stets eine Primzahl enthält, wenn sie nicht periodisch ist. Diese empirische Tatsache wird vom Verf. an der Hand umfangreicher Tabellen kontrolliert. Der Satz ist richtig für alle Zahlen \(n<138\) und für die meisten Zahlen \(<1000\). Für \(n=138\) und andere Zahlen ist die Reihe von ungeheurer Länge und konnte nicht berechnet werden. Wird die Kette periodisch von der Periode 2, so sind die Zahlen \(s(n)\) und \(n\) befreundet:
\[ s^2(n)=s(s(n))=n. \]
Der Verf. findet fünf Paare befreundeter Zahlen \(\le 6232\), von denen drei nicht bei Euler auftreten. Außerdem treten Perioden bis zu 8 auf. Eine weitere Tafel gibt alle geraden überschwenglichen Zahlen \(< 6232\). Die übrigen Tafeln betreffen Lösungen der Gleichung \(s(n)+n=g\), wo \(g\) eine bestimmte Zahl ist.

MSC:

11A25 Arithmetic functions; related numbers; inversion formulas
11Y70 Values of arithmetic functions; tables
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Online Encyclopedia of Integer Sequences:

Abundant numbers (sum of divisors of m exceeds 2m).