Sur la théorie des congruences de degré supérieur. (French) JFM 44.0226.02

Rados, G.

Ann. de l’Éc. Norm. (3) 30, 395-412 (1913).

Es sei \(p\) eine rationale Primzahl. Der Verf. behandelt als erste Aufgabe, die Bedingungen dafür anzugeben, daß die beiden Kongruenzen \[ \begin{matrix} f(x)&\equiv a_0x^m+a_1x^{m-1}+\cdots+a_m&\equiv 0,\\ g(x)&\equiv b_0x^n+b_1x^{n-1}+\cdots+b_n&\equiv 0(\text{mod.} p)\end{matrix} \] eine gemeinsame Wurzel haben. Setzt man \[ \left|\begin{matrix} a_0u+b_0,\;& a_1u+b_1,\dots,a_{p-2}u+b_{p-2}\\ a_1u+b_1,\;&a_2u+b_2,\dots,a_0u+b_0\\ \ldots\\ a_{p-2}u+b_{p-2},\;&a_0u+b_0,\dots,a_{p-3}u+b_{p-3}\end{matrix}\right|\equiv R_0 u^{p-1}+R_1 u^{p-2}+\cdots+R_{p-1}(\text{mod.} p), \] so ist notwendig und hinreichend für die Existenz der gemeinsamen Wurzel, daß \[ R_0\equiv 0,\;R_1\equiv 0,\dots,R_{p-1}\equiv 0(\text{mod.} p). \] Die Funktionen \(R\) werden für \(p=5\) berechnet. Setzt man \(g(x)=\frac{df(x)}{dx}\), so erhält man die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß \(f(x)\) eine vielfache Wurzel (mod. \(p\)) besitzt.
Im 2. Abschnitt verallgemeinert der Verf. einzelne Resultate für den Fall, daß der Modul eine Primzahlpotenz \(p^t\) ist.

Reviewer: Fueter, Prof. (Zürich)

JFM Section:

Dritter Abschnitt. Niedere und Höhere Arithmetik. Kapitel 2. Zahlentheorie. A. Allgemeines.