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Les probabilités cinématiques et dynamiques. (French) JFM 44.0267.01

Wie man eine Theorie der geometrischen Wahrscheinlichkeiten ausgebaut hat, so gehen die Bestrebungen des Verf. darauf aus, ähnliche Betrachtungen auf die Mechanik auszudehnen und damit eine Theorie der mechanischen Wahrscheinlichkeiten anzubahnen. Die Vorarbeiten hierzu sind zu finden in seinen größeren Abhandlungen: “Théorie des probabili\t’es continues” (Journ. de Math. (6) 2, 259-327; F. d. M. 37, 266 (JFM 37.0266.*), 1906); “Étude sur la probabilité des causes” (Journ. de Math. (6) 4, 395-425; F. d. M. 39, 286 (JFM 39.0286.*), 1908); “Les probabilités à plusieurs variables” (Ann. de l’Éc. Norm. (3) 27, 339-360; F. d. M. 41, 256 (JFM 41.0256.*), 1910). Eine Probe der hierher zu rechnenden Aufgaben hat er gegeben in der Note: “Mouvement d’un point ou d’un système matériel soumis à l’action de forces dépendant du hasard” (C. R. 151, 852-855; F. d. M. 41, 790 (JFM 41.0790.*), 1910).
“Eine Aufgabe gehört zu den dynamischen Wahrscheinlichkeiten, wenn sie darin besteht, die Bewegung eines Punktes oder eines Massensystems zu erforschen, falls die diesen Punkt oder dieses System angreifenden Kräfte insgesamt oder teilweise vom Zufall abhängen.” Folgende Aufgaben werden behandelt:
Ein geometrischer Punkt \(M\) besitzt eine Geschwindigkeit \(v\), deren Größe konstant ist und deren Richtung beständig willkürlich sich ändert. Die Bewegung von \(M\) wird auf drei durch die Anfangslage gehende rechtwinklige Achsen bezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß nach Verlauf der Zeit \(t\) der betrachtete Punkt die Koordinaten \(x, y, z\) hat? – Ein im Raume beweglicher Punkt \(M\) wird von einem festen Punkte \(O\) proportional der Entfernung angezogen. Unabhängig von der aus dieser Anziehung folgenden Bewegung erhält der Punkt beständig eine Geschwindigkeit \(v\), deren Größe konstant ist und deren Richtung willkürlich wechselt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß der Punkt nach Verlauf der Zeit \(t\) eine gegebene Lage hat? – Endlich wird die Bewegung eines Massenpunktes unter der Einwirkung einer Kraft von konstanter Größe betrachtet, deren Richtung fortwährend willkürlich wechselt. Die Hauptfragen hierbei sind: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß zur Zeit \(t\) der Massenpunkt eine gegebene Geschwindigkeit besitzt? Oder daß er dann eine gegebene Lage hat? Oder daß er sowohl eine gegebene Lage, als auch eine gegebene Geschwindigkeit hat? Oder daß er bei einer Bewegung in einem widerstehenden Medium bei einem der Geschwindigkeit proportionalen Widerstand eine gegebene Geschwindigkeit hat? Da diese Aufgaben gewisse Schwierigkeiten darbieten, werden der Reihe nach die Fälle der Bewegung in einem Raume von 1, 2 und 3 Dimensionen behandelt.
Von den Aufgaben aus der Mechanik der Systeme wird nur der Fall eines ebenen festen Körpers betrachtet, der sich um einen festen, ihm angehörigen Punkt dreht und anfänglich eine Winkelgeschwindigkeit \(w_0\) besitzt. Eine gewisse Anzahl von Kräften, deren Richtungen willkürlich sich ändern, greifen an gegebenen Punkten des Körpers an. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß er zur Zeit \(t\) zum ersten Male unbewegt ist? Die Aufgabe wird zuerst als reibungslos behandelt, danach als mit Reibung behaftet.
Über solche Aufgaben der Wahrscheinlichkeitsrechnung sagt J. Bertrand: “Unendlich ist keine Zahl, man darf es nicht ohne Erläuterung in die Schlußfolgerungen einbeziehen. Auf gut Glück (au hasard) zwischen einer Anzahl möglicher Fälle wählen, ist keine genügende Angabe.” Aus diesem Grunde bemerkt der Verf. denn auch in der Einleitung: “Alle Aufgaben, die große Zahlen nach sich ziehen, müssen auf eine einzige Form gebracht werden, die es ermöglicht, die besonderen, sie kennzeichnenden Eigenschaften und die allgemeinen, sie umfassenden Charaktere zu erfassen.” Aus der Theorie der geometrischen Wahrscheinlichkeiten ist es bekannt, daß man bei Außerachtlassung dieser Vorsichtsregel für eine gegebene Frage ganz verschiedene Antworten erhält.
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Full Text: DOI Numdam Numdam EuDML