Die Identität des Cesàroschen und Hölderschen Grenzwertes für Integrale. (German) JFM 44.0281.01

Landau, E.

Leipz. Ber. 65, 131-138 (1913).

Analog den Hölderschen und Cesàroschen Mittelwerten für Zahlenfolgen, wie sie im zweitvorhergehenden Referat genannt sind, treten in der Literatur auch die entsprechenden Mittelbildungen für Funktionen einer stetigen Veränderlichen auf: Es sei \(f(x)\) für \(x\geqq 0\) definiert und für \(0\leqq x\leqq c\) \((c> 0)\) eigentlich integrabel; dann setzt man für \(x > 0\), den Hölderschen Mitteln entsprechend:
\[ h_0(x) =\tfrac1x\int^x_0 f(u)\,du,\quad h_k(x) =\frac1x\int^x_0 h_{k-1}(u)\,du \]
und, entsprechend den Cesàroschen:
\[ s_0(x) =h_0(x),\quad s_k(x)=\int^x_0 s_{k-1}(u)du,\quad c_k(x)=\frac{k!}{x^k}\;s_k(x), \]
während für \(x = 0\) alle diese Funktionen gleich 0 gesetzt werden.
Dann gilt auch hier der Äquivalenzsatz: Ist \(c_k(x)\to \gamma\) für ein bestimmtes \(k\) bei \(x\to \infty\), so ist auch \(h_k(x) \to\gamma\) (Analogen zum Satz von Schnee), und umgekehrt (Analogen zum Satz von Knopp).

Reviewer: Knopp, K., Prof. (Berlin)

MSC:

40A10

Convergence and divergence of integrals

JFM Section:

Fünfter Abschnitt. Reihen. Kapitel 1. Allgemeines.