Sur la convergence absolue des séries trigonométriques. (French) JFM 44.0296.02

Fatou, P.

S. M. F. Bull. 41, 47-53 (1913).

Die in F. d. M. 43, 319 (JFM 43.0319.*), 1912 besprochenen Arbeiten von Denjoy und Lusin gehen auf eine Anregung von Fatou zurück, der in der vorliegenden Abhandlung nun selbst auf den Gegenstand zurückkommt. Er beweist die a. a. O. angeführten Sätze erheblich einfacher, insbesondere also den Satz:
Die Menge der Punkte des Intervalles \(0 \dots 2\pi\), in denen eine trigonometrische Reihe \(\sum(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\) absolut konvergiert, hat entweder das Maß 0 oder das Maß \(2\pi\); und letzteres nur dann, wenn \(\sum| a_n|\) und \(\sum| b_n|\) konvergieren. Hieran knüpft Fatou eine Reihe weiterer interessanter Bemerkungen:
Die Punkte mit irgendeiner Konvergenzeigenschaft (absolute oder bedingte Konvergenz, Divergenz, Summierbarkeit einer gewissen Art usw.) liegen stets symmetrisch (auf dem Einheitskreise) zu den Punkten der absoluten Konvergenz. Die Menge dieser letzteren liegt also symmetrisch zu jedem ihrer eigenen Punkte; sie besteht also aus den Ecken eines regulären Polygons, wenn sie nur aus endlich vielen Punkten besteht, und ist notwendig überalldicht, wenn sie aus unendlich vielen Punkten besteht. Da dann ihre “Dichte” überall eine gleiche sein muß, folgt weiter, daß ihr Maß nur 0 oder \(2\pi\) sein kann.
Allgemeiner: Hat eine trigonometrische Reihe unendlich viele Punkte absoluter Konvergenz, so hat die Menge aller Punkte mit einer bestimmten Konvergenzeigenschaft entweder das Maß 0 oder das Maß \(2\pi\).
Solche Reihen (die sich leicht so bilden lassen, daß doch \(\sum(| a_n|+| b_n|)\) divergiert) spielen hiernach eine beachtenswerte Rolle. Fatou vermutet, daß die zugehörige Potenzreihe \(\sum(a_n+ib_n)z^n\) dann stets den Einheitskreis zur natürlichen Grenze hat.

Reviewer: Knopp, K., Prof. (Berlin)

JFM Section:

Fünfter Abschnitt. Reihen. Kapitel 1. Allgemeines.

Citations:

JFM 43.0319.*