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On the Fourier series of bounded functions. (English) JFM 44.0300.03
Die wesentlichen Resultate der Untersuchungen, welche sich unmittelbar an frühere Untersuchungen des Verf. anschließen (F. d. M. 43, 323 (JFM 43.0323.*)-326, 1912), sind die folgenden: Ist für die beschränkte Funktion \(f(x)\): \[ f(x)\sim\tfrac12\, a_0+\textstyle\sum(a_n \cos nx + b_n \sin nx), \] so werden die Reihen mit dem allgemeinen Gliede \(a_nq_n\) konvergieren, wenn \(q_n \log n\) gegen Null konvergiert, während über die Folge \(q_1,q_2,\dots\) sehr allgemeine Voraussetzungen gemacht werden können; die Reihen mit dem allgemeinen Gliede \(b_n q_n\) konvergieren, wenn \(\sum\frac{q_n}{n}\) konvergent und die Folge \(q_1,q_2,\dots\) eine monoton abnehmende Folge mit der Grenze Null ist. Ist \(f(x)\) stetig oder nur mit Unstetigkeiten erster Art behaftet, so ist \(\sum a_n\log n\) konvergent. Ist \(f(x)\) eine Funktion mit beschränkter Schwankung, so sind \(na_nq_n\) und \(nb_nq_n\) die Fourierschen Konstanten einer (im Lebesgueschen Sinne) integrierbaren Funktion, wenn (unter im übrigen ziemlich weiten Voraussetzungen) die Folge \(q_1,q_2,\dots\) monoton abnehmend mit der Null als Grenze ist und ihre Dekremente gleichfalls eine monoton abnehmende Folge darstellen; es sind ferner \(nb_nq_n\) und \(na_n q_n\) die Fourierschen Konstanten einer (im Lebesgueschen Sinne) integrierbaren Funktion, wenn – unter im übrigen ziemlich weiten Voraussetzungen – die Folge \(q_1,q_2,\dots\) monoton abnehmend mit der Null als Grenze ist und \(\sum\frac{q_n}{n}\) als konvergent vorausgesetzt wird. .

Subjects:
Fünfter Abschnitt. Reihen. Kapitel 1. Allgemeines.
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