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Darstellung der gleichmäßigen Konvergenzabszisse einer Dirichletschen Reihe \(\sum^\infty_{n=1} a_n/n^s\) als Funktion der Koeffizienten der Reihe. (German) JFM 44.0307.02

Neben den bekannten Grenzgeraden \(\sigma = A\) und \(\sigma=B\) der gewöhnlichen, bzw. absoluten Konvergenz einer Dirichletschen Reihe \(\sum a_n e^{-\lambda}n^s\) hatte H. Bohr in einer Note [C. R. 151, 375–377 (1911; JFM 41.0291.01)] eine dritte Gerade \(\sigma = C\), die der gleichmäßigen Konvergenz, eingeführt: In der Halbebene \(\sigma > C+\varepsilon\) istdie Reihe gleichmäßig konvergent, für \(\sigma>C-\varepsilon\) dagegen nicht mehr. Es ist natürlich \(A\le C\le B\). Jetzt führt er eine vierte Gerade \(\sigma = D\) ein durch die Bedingung: Für \(\sigma = D +\varepsilon\) ist die durch die Reihe definierte Funktion regulär und beschränkt, für \(\sigma >D -\varepsilon\) dagegen nicht mehr. Diese Gerade ist also durch eine sehr einfache funktionentheoretische Eigenschaft definiert.
Es ist nun im allgemeinen \(C = D\). Genauer:
1. Ist die Exponentenfolge \((\lambda_n)\) so beschaffen, daß ein \(l\ge 0\) existiert, für das bei jedem \(\delta > 0\) \[ \frac{1}{\lambda_{n+1}-\lambda_n}=O(e^\lambda_{n^{(l+\delta)}}) \] gilt, und hat die Reihe \(\sum a_n e^{-\lambda}n^s\) überhaupt ein Konvergenzgebiet, so ist \(C = D\) (und beide \(<+\infty\)).
2. Ist \(\lim \frac{\log n}{\lambda n}= 0\), so ist (falls \(A < +\infty\)) \(A = B = G = D\). In der zweiten Arbeit wird für den Fall gewöhnlicher Dirichletscher Reihen \(\sum a_n n^{-s}\) (für die 1. gilt) eine explizite Formel für \(C\) – analog den bekannten Formeln für \(A\) und \(B\) – gewonnen:
Für \(x\ge 1\) setze man \(\sum^x_{n=1}a_n n^{-s} = S_x(s)\) und bezeichne mit \(T_x\) die obere Grenze von \(| S_x(it)|\), \(t=-\infty\cdots +\infty\); dann ist, falls \(C > 0\), \[ C = \limsup_{x=+\infty}\;\frac{\log T_x}{\log x}\,. \]

MSC:

30B50 Dirichlet series, exponential series and other series in one complex variable

Citations:

JFM 41.0291.01