Ein Satz über Stieltjessche Integrale mit Anwendung auf Dirichletsche Reihen. (German) JFM 44.0350.01

Steffensen, J. F.

Palermo Rend. 36, 213-219 (1913).

Umkehrung eines Satzes von Stieltjes, der nach Borels Formulierung (Leçons sur les séries divergentes S. 68-70) lautet: Es sei \(\varPhi(\varrho)\) eine reelle, stetige, nicht negative Funktion, für die das “Stieltjessche” Integral \(I(x) = \int^\infty_0\;\frac{\varPhi(\varrho)}{\varrho+x}\;d\varrho\) konvergiert; dann ist \[ \varPhi(a)=\lim_{\varepsilon=0}\;\frac{I(-a-i\varepsilon)-I(-a+i\varepsilon)}{2\pi i}\,. \] Die Umkehrung ist in der unter gewissen Bedingungen geltenden Formel \[ F(s) = \frac{1}{2\pi i}\int^\infty_0\;\frac{F(\varrho c^{-i\pi})-F(\varrho c^{-i\pi})}{\varrho+s}\;d\varrho\,. \] enthalten.
Spezielle Fälle sind z. B. \[ s^{-x}=\frac{\sin \pi x}{\pi}\int^\infty_0\;\frac{d\varrho}{(\varrho+s)\varrho^x}\,;\quad \left(\frac{0<{\mathfrak R}(x)<1}{-\pi<\text{Arg.\,}s<\pi}\right) \] (für \(s=1\) folgt eine aus der Theorie der Gammafunktion bekannte Formel); \[ \frac{1}{\sqrt{s}}=\frac1\pi\int^\infty_0\frac{d\varrho}{(\varrho+s)\sqrt{\varrho}}\,.\quad (-\pi<\text{Arg.\,}s<\pi). \] Die Anwendung auf Dirichletsche Reihen lautet: Es besitze die Dirichletsche Reihe \(\varPhi(x)=\sum^\infty_1\;\frac{a_n}{\omega^x_n}\) \((\omega_n>0)\) innerhalb des Streifens \(0<{\mathfrak R}(x)<1\) ein absolutes Konvergenzgebiet \(G\); dann ist die Partialbruchreihe \(B(\varrho)=\sum^\infty_1\;\frac{a_n}{\omega_n+\varrho}\) für \(\varrho >0\) absolut konvergent, und man hat die in \(G\) absolut konvergente Darstellung \[ \varPhi(x)=\frac{\sin \pi x}{\pi}\int^\infty_0\;\varrho^{-x}\,B(\varrho)d\varrho. \] Zum Beispiel ist \[ \zeta(x+1)=\frac{\sin \pi x}{\pi}\int^\infty_0\;\frac{C+\varPsi(1+\varrho)}{\varrho^{x+1}}\;d\varrho\quad (0<{\mathfrak R}(x)<1) \] (\(C\) Eulersche Konstante, \(\varPsi\) Gaußsche Funktion).

Reviewer: v. Schrutka, Prof. (Brünn)

JFM Section:

Sechster Abschnitt. Differential- und Integralrechnung. Kapitel 4. Bestimmte Integrale.

References:

[1]	J. F. Steffensen,Analyüshe Stuiier mei Anvendelser paa Taltheorien (Kóbenhavn, Vilhelm Tryde, 1912). Ein Auszug erscheint demnãchst in “Acta Mathematica{”.}
[2]	T.-J. Stieltjes,Recherches sur les fractions continues [Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, Ière série, tome VIII (1894), J, pp. 1–122; tome IX (1895), A, pp. 1–47]. – Über die fernere Entwickelung siehe:O. Perron,Die Lehre von den Kettenbrüchen (Leipzig und Berlin, Teubner, 1913), Kap. IX, pp. 362–417].
[3]	É. Borel,Le{\(\cdot\)}ons sur Us séries divergentes (Paris, Gauthier-Villars, 1901), pp. 68–70.