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The Princeton Colloquium 1909. Part I: Fundamental existence theorems. (English) JFM 44.0365.01
Colloquium Publications. American Mathematical Society 3, Part I. New York: American Mathematical Society. 1-107 (1913).
Der Vortrag bildet den ersten Teil der “Lectures on mathematics delivered September 15 to 17, 1909, before members of the American Mathematical Society in connection with the summer meeting held at Princeton University, Princeton, N. J.” New York published by the American Mathematical Society.
Die von der Amerikanischen Mathematischen Gesellschaft in größeren Zeitabständen als Kolloquien bezeichneten umfangreicheren Vorträge sollen, wie die in der Deutschen Mathematiker-Vereinigung erstatteten Berichte, einen Überblick über den zeitlichen Stand eines Gebietes geben. Die kurze Inhaltsangabe der von Bliss gehaltenen Vorlesungen im Bull. Amer. Math. Soc. (2) 16, 106, 1909 lautet: Der erste Teil der Vorlesungen von Bliss war einer Übersicht über die Theorie der impliziten Funktionen gewidmet und schloß einen eingehenden Bericht über einige der jüngeren Entwicklungen innerhalb dieses Gebietes nebst ihren Anwendungen in der Variationsrechnung ein. Die Existenztheoreme für gewöhnliche Differentialgleichungen wurden vorgenommen mit besonderer Beziehung auf die Definition von Lösungen über ein ausgedehntes Gebiet (“sheet”= Fläche) und ihr Verhalten als Funktionen der anfänglichen Konstanten. Ein kurzer Bericht über die geometrische Theorie der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung wurde erstattet, und unter diesem Gesichtspunkte wurden die bereits gewonnenen Ergebnisse dazu angewandt, die Existenz von Lösungen solcher Gleichungen zu erweisen, selbst wenn die die Lösung definierende Gleichung nicht analytisch ist. Die Theorie der impliziten Funktionen für reelle Veränderliche und einige Kenntnisse der Annäherungsmethoden von Cauchy und Picard für gewöhnliche Differentialgleichungen wurden als bekannt vorausgesetzt. Wir lassen das Inhaltsverzeichnis folgen.
Einleitung. Kap. I. Gewöhnliche Punkte impliziter Funktionen, 1. Das Fundamentaltheorem. 2. Gleichungen, bei denen die Funktionen analytisch sind. 3. Goursats Annäherungsmethode. 4. Bolzas Ausdehnung des Fundamentaltheorems. 5. Die einzige Fläche (sheet) von Lösungen, die mit einer Anfangslösung zusammenhängen. 6. Hülfssätze und Definitionen. 7. Ein Kriterium, daß eine Fläche von Lösungen einwertig ist. 8. Transformationen von \(n\) Veränderlichen und Modifikation eines Satzes von Schoenflies.
Kap. II. Singuläre Punkte impliziter Funktionen. Einleitung. 9. Der Vorbereitungssatz von Weierstraß. 10. Die Nullstellen von \(\varphi(u,v)\), \(\psi(u,v)\) oder ihrer Funktionaldeterminante. II. Singuläre Punkte einer reellen Transformation zweier Veränderlichen. 12. Der Fall, daß die Funktionaldeterminante identisch verschwindet. 13. Eine Verallgemeinerung des Vorbereitungssatzes von Weierstraß. 14. Anwendungen der vorangehenden Theorie.
Kap. III. Existenztheoreme für Differentialgleichungen. Einleitung. 15. Die Konvergenz-Ungleichheit. 16. Die Cauchyschen Polygone und ihre Konvergenz über ein beschränktes Intervall. 17. Die Existenz einer auf den Rand eines Bereiches sich erstreckenden Lösung. 18. Die Stetigkeit und die Differenzierbarkeit der Lösungen. 19. Ein Existenztheorem für eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung, die nicht notwendig analytisch ist.

Subjects:
Sechster Abschnitt. Differential- und Integralrechnung. Kapitel 5. Gewöhnliche Differentialgleichungen und Funktionalgleichungen. A. Gewöhnliche Differentialgleichungen.