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Sur l’intégration logique des équations différentielles ordinaires. (French) JFM 44.0366.01

Proc. 5. Intern. Math.-Kongr. 1, 438-497 (1913).
“Die logische Integration der Gesamtheit der gewöhnlichen Differentialgleichungen läuft darauf hinaus, diese Gesamtheit in irreduzible und in aufeinander irreduzible Typen zu verteilen und jeden dieser Typen zu kennzeichnen. Für eine bestimmte Gleichung \[ \frac{d^ny}{dx^n} = f\left(x,y,\frac{dy}{dx},\dots,\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}\right), \] bei der die Funktion \(f\) einen Teil eines wohl definierten Rationalitätsbereiches bildet, kann man eine (unglücklicherweise in den allgemeinen Fällen theoretische) reguläre Methode angeben, um zu erkennen, welchem Typus sie angehört, d. h. im Grunde, welches die einfachsten Transzendenten sind, welche die Elemente der allgemeinen Lösung rational auszudrücken vermögen.
Allgemein, wenn man eine partielle Differentialgleichung betrachtet: \[ \text{(a)}\qquad X(z)=\frac{\partial z}{\partial x}+A_1\;\frac{\partial z}{\partial x_1}+\cdots+A_n\;\frac{\partial z}{\partial x_n}\,, \] deren Koeffizienten Funktionen der \(n+1\) Argumente \(x,x_1,\dots,x_n\) sind, die zu einem gewissen Rationalitätsbereiche \([\varDelta]\) gehören, wird das fundamentale Lösungssystem \(z_1,z_2,\dots,z_n\) der Gleichung (a), das man als das einfachste ansehen kann, durch Beziehungen: \[ \varOmega_i\left(z_1,\dots,z_n,\,\frac{\partial z_1}{\partial x_1},\dots,\frac{\partial z_n}{\partial x_n}\right)=\alpha_i(x,x_1,\dots,x_n)\quad (i=1,2,\dots,k) \] definiert, in denen die ersten Glieder alle rationalen und rational verschiedenen Differentialinvarianten einer gewissen Gruppe von Transformationen \(\varGamma\) der Elemente \(z_1,z_2,\dots,z_n\) sind, angesehen als Funktion der nicht transformierten Veränderlichen \(x_1,x_2,\dots,x_n\). Die zweiten Glieder sind Funktionen von \(x_1,x_2,\dots,x_n\) die dem Rationalitätsbereich \([\varDelta]\) angehören. Das vorausgehende System ist irreduzibel, d. h. jede mit den vorangehenden verträgliche Relation gleicher Art (die gerade wie diese letzteren mindestens durch ein Fundamentalsystem verifiziert wird) ist eine notwendige Folge davon; es ist in gleicher Weise primitiv, d. h. man kann die Ordnung der Gleichungen des Systems nicht erniedrigen oder die Anzahl dieser Gleichungen, die von einer gegebenen Ordnung sind, bei dem Übergang zu einem anderen Fundamentalsystem nicht erhöhen. Ich sage, die Gruppe \(\varGamma\) sei die Rationalitätsgruppe der Gleichung, und die einfachsten Lösungen von (a) seien mit der Gruppe \(\varGamma\) verknüpfte Funktionen von \(n + 1\) Argumenten \(x,x_1,\dots,x_n\); diese Funktionen sind im allgemeinen simultan definiert und können nicht getrennt werden. Man kann als Gruppe \(\varGamma\) eine der a priori von S. Lie bestimmten Gruppen nehmen; aber die gegenwärtige Theorie wird direkt und algebraisch errichtet, würde also jene Typen abermals geben, wenn es nötig wäre.
Sophus Lie hatte seine Theorie der Transformationsgruppen selbst auf die Forschung der Differentialgleichungen angewandt; allein seine Arbeiten, die von denen, um die es sich hier handelt, gänzlich verschieden sind, lassen sich nur auf besondere Gleichungen, unter denen anwenden, die wir untersuchen, und geben nur unvollständige Resultate, die zwar in einem ideell allgemeinen Falle gültig sind, aber nicht mehr mit Notwendigkeit für einen besonderen Fall bestehen bleiben. Die Gruppentheorie hatte also interessante Folgerungen für die Integration ergeben, schien aber nicht wesentlich für die Erforschung der Differentialgleichungen. Indem ich sie bei dem Ausgange von diesen Gleichungen wieder fand, hoffe ich festgestellt zu haben, daß sie eine von der Erforschung der Transzendenten der Integralrechnung untrennbare Lehre ist.
Zu beachten ist die tiefliegende Analogie dieser Resultate mit denen von Galois betreffs der logischen Auflösung der algebraischen Gleichungen. In der Tat ist es das Studium der algebraischen Galoisschen Theorie und der jetzt klassisch gewordenen bemerkenswerten Ausdehnung dieser Theorie auf die linearen Differentialgleichungen von Emile Picard (1887), die mit dazu geführt hat, die versteckten Gründe der Vollendung und des endgültigen Charakters dieser Theorien sowie die allgemeinsten Bedingungen aufzusuchen, unter denen diese Eigenschaften bewahrt werden können.”
Nach der Wiedergabe dieser von starkem Selbstbewußtsein getragenen Einleitung der dickleibigen Arbeit wollen wir nur die Titel der einzelnen Abschnitte folgen lassen. Gleichung erster Ordnung, I. Typische Formen und zugehörige Gruppen. II. Rationalitätsgruppen. Hauptlösungen. III. Ausdehnung des Rationalitätsbereiches. Adjunktion von Transzendenten. IV. Bestimmung der Rationalitätsgruppe (typische Gruppe). Algebraische Integration der Gleichung erster Ordnung. V. Wie man aus der Kenntnis einer rationalen Relation Nutzen zieht, die durch eine Lösung der Gleichung \(\frac{\partial z}{\partial x}+A\,\frac{\partial z}{\partial y}\) verifiziert wird. VI. Beispiele von Bestimmungen der typischen Rationalitätsgruppe. VII. Klassifizierung der singulären Punkte. Analytische Form der Integrale in der Umgebung der singulären Punkte.
Gleichung beliebiger Ordnung, 1. Irreduzible reguläre Systeme. Rationalitätsgruppe. II. Normalform eines irreduziblen regulären Systems. III. Bildung der Resolventen. IV. Beispiele. Typische Rationalitätsgruppen. V. Reduktion der Rationalitätsgruppe.
Anwendungen, I. Gleichungen der zweiten Ordnung. Lineare Differentialgleichungen. II. Normalproblem von Lie. III. unendliche einfache Gruppen. Allgemeinste ihnen entsprechende Gleichungen. IV. Vollständige Systeme linearer Gleichungen. V. Nicht lineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung. VI. Pfaffsches Problem.