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On functions with a finite number of branches defined by first order differential equations. (Sur les fonctions à un nombre fini de branches definies par les équations différentielles du premier ordre.) (French) JFM 44.0384.01

Painlevé hat In seinen “Leçons de Stockholm” und in einer in dem Buche von P. Boutroux, “Leçons sur les fonctions definies par les équations différentielles du premier ordre” (Paris 1908) enthaltenen Note das Problem behandelt, die Eigenschaften der Integrale einer algebraischen Differentialgleichung zu untersuchen, deren sämtliche Integrale höchstens \(n\)-deutig sind. Seine Methode besteht in der Untersuchung des allgemeinen Integrals als Funktion der Anfangswerte, und er gelangt leicht zum Ziel, wenn er voraussetzt, daß jedes Integral dieselbe Anzahl von Zweigen besitzt, abgesehen von etwaigen Ausnahmeintegralen, die eine abzählbare Menge bilden. Um zu beweisen, daß die Ausnahmeintegrale wirklich eine abzählbare Menge bilden, hat er zwei verschiedene Methoden versucht, aber nur besondere Fälle betrachtet, und es hat nicht den Anschein, als ob seine Methoden die Lösung des Problems im allgemeinen Falle geben könnten.
In der vorliegenden Arbeit behandelt Verf. dasselbe Problem nach einer ganz anderen Methode, nämlich durch Anwendung der Resultate von P. Boutroux (a.a.O.) über das Anwachsen der Integrale einer Differentialgleichung erster Ordnung; er gelangt so nicht nur zu einer endgültigen Lösung des Painlevéschen Problems, sondern auch zu einem allgemeinen Ergebnis über die Natur gewisser singulärer Punkte.
Im ersten Abschnitt werden der Vollständigkeit halber die Resultate von Boutroux abgeleitet, während der zweite Abschnitt ihre Anwendung auf das in Rede stehende Problem enthält, wobei Verf. sich auf die Differentialgleichung \[ (1)\qquad \frac{dy}{dx}=\frac{P(x,y)}{Q(x,y)} \] beschränkt, in welcher \(P\) und \(Q\) Polynome in \(x\) und \(y\) sind. Das Hauptresultat des Verf. spricht sich in den folgenden Sätzen aus:
Theorem 1. “Wenn die Differentialgleichung (1) keine Riccatische ist, so ist jedes eindeutige Integral eine rationale Funktion.” (Vgl. M. Petrovitsch in É. Picard, Traité d’Analyse, 3, 356.)
Theorem 2. “Wenn die Differentialgleichung (1) sich nicht durch eine Transformation von der Form: \[ z=\frac{y^n+\alpha_2'y^{n-2}+\cdots+\alpha_n'}{y^{n-1}+\alpha_2y^{n-2}+\cdots+\alpha_n} \] in eine Riccatische Differentialgleichung \[ \frac{dz}{dx}=az^2_bz+c \] transformieren läßt, wo die Koeffizienten \(a, b,\alpha_\nu,\alpha_\nu'\) (\(\nu = 2,\dots,n)\) rationale Funktionen von \(x\) sind, so ist jedes endlich-vieldeutige Integral eine algebraische Funktion.” Für den besonderen Fall der Differentialgleichung \(\frac{dy}{dx} = P(x, y)\) hat Verf. diesen Satz (Theorem \(2'\)) bereits im Jahre 1912 in den Ber. d. 2. skand. Math.-Kongr., 73-79 (F. d. M. 43, 402 (JFM 43.0402.*)) bewiesen. – Zum Schluß betrachtet Verf. kurz den Fall, daß die Differentialgleichung (1) sich durch die oben angegebene Transformation in eine Riccatische Differentialgleichung transformieren läßt, und verallgemeinert dann die von ihm vorher gewonnenen Resultate derart, daß sie auch für einen Integralzweig Geltung behalten.

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35Fxx General first-order partial differential equations and systems of first-order partial differential equations
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