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The solutions of non-homogeneous linear difference equations and their asymptotic form. (English) JFM 44.0392.02
Verf. beweist die Existenz gewisser Hauptlösungen eines Systems nichthomogener linearer Differenzengleichungen, welches ohne Beschränkung der Allgemeinheit in folgender Form geschrieben werden kann: \[ (1)\qquad \begin{cases} g_i(x+1)=\sum^n_{j=1} a_{i_j}(x)g_j(x) & (i=1,2,\dots,n-1),\\ g_n(x+1)=\sum^n_{j=1} a_{n_j}(x)g_j(x) + b(x+1)\end{cases} \] und gibt ihre asymptotischen Reihenentwicklungen an. Die Funktionen \(a_i(x)\) und \(b(x)\) werden rational vorausgesetzt mit Polen im Unendlichen, deren Ordnung höchstens \(\mu\), bzw. \(\nu\) ist. Die vom Verf. angewandte Methode ist die der Variation der “Konstanten” (s. 87 ff., G. Wallenberg u. A. Guldberg, Theorie der linearen Differenzengleichungen. Leipzig u. Berlin: B. G. Teubner (1911; JFM 42.0355.01)).
Im § 1 werden die fundamentalen Existenztheoreme von G. D. Birkhoff [Trans. Am. Math. Soc. 12, 243–284 (1911; JFM 42.0359.02)] für ein homogenes System angegeben. Im § 2 wird das Problem auf die Betrachtung einer einfachen nichthomogenen linearen Differenzengleichung erster Ordnung zurückgeführt, von welcher zunächst 4 formale Lösungen aufgestellt werden: zwei direkte “Summen” (“nach rechts” und “nach links”) und zwei Formen des von R. D. Carmichael [Trans. Am. Math. Soc. 12, 99–134 (1911; JFM 42.0359.01)] modifizierten Guichardschen Konturenintegrals, das eine nach rechts und das andere nach links erstreckt. Im § 3 wird unter der Voraussetzung \(\mu > 0\) eine direkte Summation nach rechts dazu benutzt, eine erste Hauptlösung von (1) abzuleiten: \(g_{11}(x), g_{21}(x),\dots,g_{n1}(x)\). Diese Lösung ist in der ganzen endlichen Ebene analytisch mit Ausnahme von Polen in bestimmten Punkten in der Nähe der negativen reellen Achse.
Im § 4 wird gezeigt, daß in der rechten Halbebene diese Lösung asymptotisch durch die dem System (1) formal genügende Reihe dargestellt wird. Im § 5 wird bewiesen, daß die im § 3 benutzte formale Lösung des Systems (1) von dem Fundamentalsystem von Lösungen des entsprechenden homogenen Systems, das zu ihrer Bestimmung dient, unabhängig ist, und dieser Umstand wird im § 6 dazu benutzt, die asymptotische Form der ersten Lösung in der linken Halbebene zu bestimmen. Eine Summation mittels eines nach links erstreckten Konturenintegrals wird im § 7 angewandt, um eine zweite Hauptlösung \(g_{12}(x), g_{22}(x),\dots, g_{n2}(x)\) zu bestimmen, welche mit Ausnahme von Polen in bestimmten Punkten in der Nähe der positiven reellen Achse analytisch ist; diese Lösung wird durch die formale Reihe in der linken Halbebene asymptotisch dargestellt. Im § 8 wird die zwischen den beiden Hauptlösungen bestehende Relation aufgestellt. Im § 9 wird gezeigt, daß im Falle \(\mu < 0\) dieselbe Theorie gilt, nur daß die rechte und linke Halbebene ihre Rollen vertauschen. Ähnliche Resultate werden im § 10 für den Grenzfall \(\mu = 0\) bewiesen mit Ausnahme gewisser extremer Fälle. Im § 11 endlich wird eine Anwendung der allgemeinen Theorie auf eine einzelne nichthomogene lineare Differenzengleichung \(n\)-ter Ordnung gemacht.

MSC:
39A06 Linear difference equations
Subjects:
Sechster Abschnitt. Differential- und Integralrechnung. Kapitel 5. Gewöhnliche Differentialgleichungen und Funktionalgleichungen. B. Funktionalgleichungen.
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