×

Sur les équations integro-différentielles définissant des fonctions de lignes. (French) JFM 44.0411.02

J. de l’Éc. Pol. (2) 17, 1-120 (1913).
Die vorliegende Abhandlung (identisch mit der Pariser These, 1911) untersucht, anschließend an Hadamardsche Begriffsbildungen, eine ganz andere Art von Integraldifferentialgleichungen, als es die von Volterra mit diesem Namen bezeichneten Bildungen sind. Als Unbekannte tritt eine Funktion \(\varPhi\) der ebenen Kurve \({\mathfrak C}\) auf, und die Gleichung besteht in der Forderung, daß die funktionale Ableitung von \({\mathfrak C}\) (in Volterras Sinn) identisch für alle Kurven \({\mathfrak C}\) gleich einer gegebenen Funktion von \(\varPhi\) und der Kurve \({\mathfrak C}\) wird; z. B. etwa, daß \[ (1)\qquad \delta\varPhi= \int_{{\mathfrak C}} f_{{\mathfrak C}}(\varPhi, M)\delta n\, ds, \] wo \(\delta_n\) die Verschiebung von \({\mathfrak C}\) in normaler Richtung bei Bildung von \(\delta \varPhi\) bedeutet, und \(f\) in gegebener Weise von der Kurve \({\mathfrak C}\), insbesondere von ihrem Verhalten an der Stelle \(M\) des Linienelementes \(ds\), und von \(\varPhi\) abhängt. Außerdem kann \(\varPhi\) noch von gewissen Parametern, z. B. von den Koordinaten der Punkte \(A, B\) abhängen; das ist z. B. der Fall bei den typischen Beispielen solcher Integraldifferentialgleichungen : \[ \delta\varPhi_{AB}=-\int^\partial_{{\mathfrak C}}\;\frac{\varPhi_{AM}}{\partial^n}\;\frac{\partial\Phi}{\partial^n}\;\delta n\,ds\text{ oder }\delta\varPhi_{AB}=\int_{({\mathfrak C})}\varPhi_{AM}\,\varPhi_{MB}\delta n\,ds, \] wie sie Hadamard für die Greenschen Funktionen von \(\varDelta u = 0\) oder \(\varDelta\varDelta = 0\) oder für die mit ihnen zusammenhängenden Funktionen aufgestellt hat.
Die Entwicklungen Lévys gehen von der offenbaren Analogie zwischen diesen Integraldifferentialgleichungen und den totalen Differentialgleichungen aus, deren Übersetzung ins Gebiet unendlich vieler Veränderlichen jene sind. Beschränkt man sich auf die Betrachtung der Werte \(\varPhi\) für die Kurven einer einparametrigen Schar, so kann man \(\varPhi\) für alle diese Kurven aus (1) sofort angeben, wenn man es für eine von ihnen \({\mathfrak C}_0\) kennt. Daß die so für ein beliebiges \({\mathfrak C}\) durch Benutzung verschiedener einparametriger Scharen aus einem einmal angenommenen \(\varPhi_{{\mathfrak C}_0}\) entstehenden Werte aber übereinstimmen, führt zu den Integrabilitätsbedingungen (genau wie bei den totalen Differentialgleichungen), und es sind nun, je nachdem sie identisch erfüllt sind oder nicht, die von dort bekannten Fallunterscheidungen in dieses entsprechend schwierigere Gebiet zu übertragen.
Die Arbeit führt diese Untersuchungen, namentlich für einige die Hadamardschen Ansätze unmittelbar verallgemeinernde Typen von Integraldifferentialgleichungen, ausführlich durch; man vergl. auch die Referate über die in den C. R. veröffentlichten Voranzeigen des Verf. (F. d. M. 41, 372 (JFM 41.0372.*), 387, 1910 und 42, 426, 1911).

Citations:

JFM 41.0372.*