Sur les équations aux dérivées partielles du type parabolique. (French) JFM 44.0431.03

Gevrey, M.

Journ. de Math. (6) 9, 305-471 (1913); 10, 105-148 (1914); Thèse. Paris: Gauthier-Villars. 211 S. 40 (1913).

Die vorliegende Arbeit enthält die Ausführung der vom Verf. in mehreren Noten [C. R. 152, 428–431 (1911; JFM 42.0390.03); 152, 1564–1566 (1911; JFM 42.0387.01); 154, 1785–1788 (1912; JFM 43.0446.03); 156, 528–531 (1913; JFM 44.0431.02)] gegebenen Sätze über partielle Differentialgleichungen vom parabolischen Typus; das vorliegende Journalheft enthält die drei ersten Kapitel. – Es werden drei Gleichungsformen betrachtet: \[ \begin{aligned} & (E)\qquad \frac{\partial^2z}{\partial x^2}-\frac{\partial z}{\partial y}=a\;\frac{\partial z}{\partial x}+cz+f,\\ & (E_1)\qquad \frac{\partial^2z}{\partial x^2}-\frac{\partial z}{\partial y}=f\left(x,y,z,\;\frac{\partial z}{\partial x}\right),\\ & (E_2)\qquad \frac{\partial^2z}{\partial x^2}=f\left(x,y,z,\;\frac{\partial z}{\partial x}\,,\;\frac{\partial z}{\partial y}\right)\,.\end{aligned} \] Das Verhalten von \(\frac{\partial z}{\partial x}\), und für \((E_2)\) auch von \(\frac{\partial z}{\partial y}\), am Rande des betrachteten Gebietes wird untersucht. Durch eine Transformation \(x'=\frac{l[x-X_1(y)}{X_2(y)-X_1(y)}\) können die Gleichungen in solche derselben Form übergeführt werden, während der Rand \(C\) des Gebietes in ein Rechteck \(A_1A_2\), \(x'= 0\), \(x' = l\) übergeht. Dadurch wird die Frage vereinfacht; aus diesem Grunde hat Verf. hinter das dritte Kapitel seiner Arbeit eine Spezialnote über rechteckige Begrenzungen gestellt. Die Bedingungen (sie werden \((A)\) genannt) dafür, daß die Ableitungen \(\frac{\partial^2Z}{\partial x^2}\) und \(\frac{\partial Z}{\partial y}\) der Funktion \(Z\) existieren und die Gleichung \(\frac{\partial^2z}{\partial x^2}-\frac{\partial z}{\partial y} =f(x, y)\) erfüllen, werden erörtert, und dann wird eine Ausdehnung des Symbols \(\delta Z= \frac{\partial^2Z}{\partial z^2}-\frac{\partial Z}{\partial y}\) gegeben. Wenn \(Z\) einfach integrierbar ist, genügt \(Z\) Wachstumsbedingungen, die den von Dini im Falle des Potentials gegebenen analog sind.
Die Lösung der Gleichung (E) mit Grenzbedingungen wird durch eine Integraldifferentialgleichung gegeben, die sich in gewissen Fällen in eine gewöhnliche Integralgleichung umwandeln läßt. Durch diese Betrachtungen sind auch die Grundlagen für die Behandlung von \((E_1)\) geschaffen. Die Schwierigkeiten, die die Methode der sukzessiven Annäherungen bei \((E_2)\) darbietet, wird durch die Methode der “accroissements” gelöst; sie hat Ähnlichkeit mit der beim elliptischen Typus von Bernstein angewendeten, bei der \(f(x, y, z, p, q, r, s, t) = 0\) in die Form \(r + t = \varphi(x, y, z, p, q, r, s, t)\) gebracht wird.
Die regulären Lösungen der Gleichung der Wärmeleitung \(\frac{\partial^2z}{\partial x^2}=\frac{\partial z}{\partial y}\) sind in bezug auf \(x\) analytisch, in bezug auf \(y\) von einer gewissen Natur, die Verf. durch die Bezeichnung “Funktionen \(H\)” ausdrückt, und die Holmgren bei der Fortsetzung der Lösungen dieser Gleichung verwendet hat. Verf. zeigt, daß, wenn die Koeffizienten von \((E)\) in \(y\) von der Natur \(H\) sind, sich jede ihrer regulären Lösungen derselben Eigenschaft erfreut, und daß dasselbe auch für die Gleichung \(\frac{\partial^2z}{\partial x^2} +a\,\frac{\partial z}{\partial x}+b\,\frac{\partial z}{\partial y}+cz=0\) gilt, wenn \(b\) ein konstantes Zeichen behält. Wenn die Koeffizienten dieser Gleichung in \(x\) und \(y\) von der Natur \(H\) sind, so nimmt jede reguläre Lösung auf einer Kurve \(x = X(y)\), wo \(X\) eine Funktion \(H\) ist, Werte an, die eine Funktion \(H\) von \(y\) definieren. Eine solche Kurve wird eine Kurve \(H\) genannt. Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß eine Lösung \(z\), die in einem Gebiete regulär ist, das teilweise von einer Kurve \(H\) begrenzt wird, über diese Kurve hinaus fortgesetzt werden kann, ist die, daß \(z\) auf dieser Kurve eine Wertenfolge hat, die eine Funktion \(H\) von \(y\) darstellt. Die Koeffizienten der Gleichung werden dabei von der Natur \(H\) angenommen. Diese Resultate stützen sich auf die Lösung des Cauchyschen Problems. Am Schlusse des 3. Kapitels zeigt Verf., daß die Aufgabe, eine in \(x\) und \(y\) analytische Lösung der Wärmeleitungsgleichung zu finden, die auf zwei sich schneidenden Kurven eine analytische Wertenfolge annimmt, im allgemeinen nicht lösbar ist, im Gegensatze zu der entsprechenden Aufgabe bei einer großen Anzahl anderer Gleichungen.

Reviewer: Fuchs, Prof. (Halensee)

MSC:

35Kxx

Parabolic equations and parabolic systems

JFM Section:

Sechster Abschnitt. Differential- und Integralrechnung. Kapitel 6. Partielle Differentialgleichungen.

Citations:

JFM 42.0390.03; JFM 42.0387.01; JFM 43.0446.03; JFM 44.0431.02