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Über die Bestimmung des Sprunges der Funktion aus ihrer Fourier-Reihe. (Hungarian) JFM 44.0483.01
J. für Math. 142, 165-188 (1913); Math. és termész. ért. 31, 385-415 (1913).
Es sei \(f(x)\) eine Funktion der reellen Veränderlichen \(x\), die im Intervall \(x = (0,\dots,2\pi)\) den Dirichletschen Bedingungen genügt und darin eine oder mehrere Sprungstellen hat. Wenn die aufeinander folgenden Teilsummen der Fourierschen Reihe: \[ (1)\qquad f(x)=a_0+\sum^\infty_{n=1}(a_n\cos nx+b_n \sin nx) \] mit \(s_0(x),s_1(x),s_2(x),\dots,s_n(x),\dots\) bezeichnet werden, so gilt der klassische Satz von Dirichlet, daß für eine Sprungstelle \(x = x_0\): \[ (2)\qquad \lim_{n=\infty}s_n(x)=\frac12[f(x_0+0)+f(x_0-0)] \] ist, sodaß man aus der Fourierschen Reihe für \(f(x)\) durch einen einfachen Grenzprozeß das arithmetische Mittel der zur Sprungstelle \(x = x_0\) gehörigen Grenzwerte \(f(x_0+ 0)\) und \(f(x_0-0)\) erhalten kann. Wie kann man aber, fragt der Verf., durch einen einfachen Grenzprozeß aus der Fourierschen Reihe für \(f(x)\) die zur Sprungstelle \(x=x_0\) gehörigen Grenzwerte selbst bekommen?
Für eine beliebige, den Dirichletschen Bedingungen genügende Funktion \(f(x)\) läßt sich vermöge des Satzes von Heine über die gleichmäßige Konvergenz der Fourierschen Reihe in der Umgebung einer Stetigkeitsstelle die Beantwortung der Frage auf die entsprechende Frage für die besondere Funktion: \[ (3)\qquad \varphi(x)=\frac{\sin x}{1}+\frac{\sin 2x}{2}+\frac{\sin 3x}{3}+\cdots+\frac{\sin nx}{n}+\cdots \] zurückführen, die für \(x = (0\dots 2\pi)\) gleich \(\frac12(\pi-x)\) ist, für \(x = 0\) den Sprung \(\pi\) aufweist und die Periode \(2\pi\) besitzt. Man hat nämlich die (bekannte) Zerlegung: \[ (4)\qquad f(x) =\tfrac12[f(x_0+ 0) + f(x_0 - 0)] +\tfrac1\pi [f(x_0+ 0)-f(x_0-0)] + f_1(x), \] wo \(f_1(x)\) in der Umgebung der Stelle \(x = x_0\) stetig ist.
Die aufeinander folgenden Teilsummen der Courierschen Reihe mögen mit \(\sigma_1(x),\sigma_2(x),\dots,\sigma_n(x),\dots\) bezeichnet werden. Dann gilt die Darstellung: \[ (5)\qquad \sigma_n(x)=-\tfrac12\,x+\int^x_0\;\frac{\sin(2n+1)t}{\sin t}\;dt, \] aus der sich vermöge des zweiten Mittelwertsatzes der Integralrechnung die Gleichung \[ (6)\qquad \sigma_n(x)=-\tfrac12\,x+\int^x_0\;\frac{\sin(2n+1)}{t}\;dt+\frac{A(n,x)}{2n+1}\quad (n = 1, 2,\dots) \] ergibt, wo \[ (7)\qquad | A(n,x)| <a; \] hier bedeutet \(a\) eine positive numerische Konstante. Aus der Darstellung (6) folgt, unter \(\beta\) eine beliebige positive Konstante verstanden, der Grenzwertsatz: \[ (8)\qquad \lim_{n=\infty}\;\sigma_n\left(\frac{\beta}{n}\right)=\int^\beta_0\;\frac{\sin t}{t}\;dt, \] der von besonderer Wichtigkeit wird, wenn man \(\beta\) so wählt, daß die Gleichung \[ (9)\qquad \int^\beta_0 \frac{\sin t}{t}\;dt=\tfrac12\,\pi =\varphi(+0) \] gilt. Ist nämlich \(g\) eine der unendlich vielen positiven Wurzeln der transzendenten Gleichung \[ (10)\qquad \int^{+\infty}_0 \frac{\sin t}{t}\;dt=0, \] so hat man: \[ (11)\qquad \lim_{n=\infty}\sigma_n\left(\frac{g}{n}\right)=\tfrac12\,\pi = \varphi(+ 0),\quad \lim_{n=\infty}\sigma_n\left(-\tfrac gn\right) = -\tfrac12\,\pi=\varphi(-0)/ \] Hieraus ergibt sich endlich, indem man zu der Darstellung (4) der Funktion \(f(x)\) zurückgeht, für die Fouriersche Entwicklung (1) dieser Funktion der Grenzwertsatz; \[ (12)\qquad \lim_{n=\infty}s_n\left(x_0\pm\frac gn\right)=f(x_0\pm 0). \] Mit ähnlichen Mitteln wird auch ein ähnlicher Satz für die arithmetischen Mittel \(\sum_0,\sum_1,\dots,\sum_{n-1},\dots\) der Teilsummen \(\sigma_n(x)\) hergeleitet, jedoch wird es hier erforderlich. Grenzwerte der Form \[ (13)\qquad \lim_{n=\infty}\sigma_n\left({\beta}{n^\alpha}\right) \] zu betrachten, wo die positive Konstante \(\alpha < 1\) ist. Der Übergang zur Reihe (1) für \(f(x)\) geschieht, indem ein Satz über die arithmetischen Mittel der Teilsummen einer Courierschen Reihe verallgemeinert wird, den der Verf. in einer früheren Arbeit hergeleitet hatte (F. d. M. 34, 287 (JFM 34.0287.*), 1903).
Unter der besonderen Voraussetzung, daß die Funktion \(f(x)\) im Intervall \(x = (0\dots 2n)\), abgesehen von den Sprungstellen, eine Ableitung \(f'(x)\) von beschränkter Schwankung besitzt, läßt sich noch eine andere Lösung der Aufgabe geben; es gilt nämlich der Lehrsatz: Es sei \[ (14)\qquad f(x) = a_0 +\sum^\infty_{n=1}(a_n \cos nx + b_n \sin nx) \] die Fouriersche Reihe einer den Dirichletschen Bedingungen genügenden Funktion, die überdies im Intervall \(x=(0\dots 2\pi)\), abgesehen von den Sprungstellen, eine Ableitung \(f'(x)\) von beschränkter Schwankung besitzt. Man betrachte die Teilsummen der aus der Reihe (14) durch gliedweise Differentiation entstehenden Reihe \[ (15)\qquad \sum^\infty_{n=1} n(b_n \cos nx - a_n\sin nx). \] Dann ist: \[ (16)\qquad \lim_{\nu=\infty}\,\tfrac \pi n\sum^n_{\nu+1}\nu(b_\nu \cos \nu x_0 - a_\nu \sin \nu x_0) = f(x_0 + 0) - f(x_0 - 0); \] dieser Grenzwert existiert auch für eine Stelle \(x_0\), an der \(f(x)\) stetig ist, und hat dann den Wert Null. Hierzu ist zu bemerken, daß die Reihe (15), falls die Funktion \(f(x)\) im Intervall \(x = (0\dots 2\pi)\) einen oder mehrere Sprünge aufweist, für jedes \(x\) divergent ist; die Folge der arithmetischen Mittel der Teilsummen dieser divergenten Reihe ist aber, wie Féjer in der früheren Arbeit beweisen konnte, für Jedes von den Sprungstellen der Funktion \(f(x)\) verschiedene \(x\) konvergent und hat den Grenzwert \(f'(x)\). Man erkennt, daß dieser frühere Satz durch den Grenzwertsatz (16) eine wesentliche Ergänzung erfährt.
Falls die Funktion \(f(x)\) im Intervall \(0\leqq x < 2\pi\) nur eine einzige Sprungstelle \(x_0\) aufweist, gilt die einfachere Gleichung: \[ (17) \lim_{\nu=\infty} \pi\nu(b_\nu \cos \nu x_0 - a_\nu \sin \nu x_0) = f(x_0 + 0)- f(x_0- 0). \]

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Full Text: Crelle EuDML