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Sur une classe de transcendantes généralisant les fonctions elliptiques et les fonctions abéliennes. (French) JFM 44.0506.03
1. Zu jeder birationalen Transformation \[ X_\nu= R_\nu(x_1,x_2,\dots,x_n)\quad (\nu =1, 2,\dots, n) \] mit dem Doppelpunkt \(x_1 = x_2 =\cdots =x_n\) gehört bekanntlich ein System von \(n\) eindeutigen, im Endlichen meromorphen Funktionen \(f_1(z), f_2(z),\dots, f_n(2)\), die
a) die Periode \(2\pi i\) besitzen,
b) den Funktionalgleichungen genügen: \[ f_\nu(z +\omega) =B_\nu [f_1(z),f_2(z),\dots, f_n(z)]\quad (\nu=1, 2,\dots, n); \] \(\omega\) bedeutet eine reelle, positive Konstante.
Der Beweis beruhte auf dem Verfahren der aufeinanderfolgenden Annäherungen. Wie Picard jetzt zeigt, konvergiert das Verfahren auch unter allgemeineren Voraussetzungen als denen, die er früher machte. Die so erhaltenen Funktionen haben jedoch die Pole der doppeltperiodischen Funktionen zweiter Art, die als Ausgangsfunktionen dienen, zu wesentlich singulären Punkten.
2. Es liegt nahe, entsprechende Betrachtungen im Gebiete von zwei unabhängigen Veränderlichen anzustellen. Wählt man jedoch als Ausgangsfunktionen vierfachperiodische Funktionen zweiter Art, so ergibt sich, daß die erhaltenen Funktionen immer wesentlich singuläre Stellen im Endlichen besitzen und daher nicht als die Verallgemeinerung der Abelschen Funktionen angesehen werden können. Da auch ein anderer Ansatz der Ausgangsfunktionen versagt, so bleibt die Frage der Existenz solcher Funktionen zweifelhaft.

MSC:
14-XX Algebraic geometry
Subjects:
Siebenter Abschnitt. Funktionentheorie. Kapitel 1. Allgemeines.
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Full Text: DOI EuDML