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Recherches sur le développement d’une fonction analytique en série de fonctions hypergéométriques. (French) JFM 44.0519.01

Die sehr umfangreiche Arbeit geht von Reihenentwicklungen aus, die zuerst von C. Neumann gegeben worden sind: Bedeutet \(P_n(x)\) die \(n\)-te Kugelfunktion, so ist eine analytische Funktion, die im Innern einer Ellipse mit den Brennpunkten \(+1,-1\) regulär ist, dort in eine Reihe der Form \(f(x) =\varSigma A_n P_n(x)\) entwickelbar, mit von \(x\) unabhängigen Koeffizienten.
In seinem Traité de fonctions métasphériques hat Nielsen dieses Resultat schon erheblich verallgemeinert: Ist \(f(x)\) in einer Ellipse mit den Brennpunkten \(0, +1\) regulär, so läßt sich \(f(x)\) dort in eine Reihe der Form \(f(x) =\varSigma A_n F(\alpha + n,-n, \gamma, x)\) entwickeln, wo \(\alpha\) und \(\gamma\) willkürliche Parameter sind. Und endlich: Sind \(\alpha_1,\dots,\alpha_{p+1}\), \(\beta_1,\dots,\beta_p\) irgend \(2p+1\) Parameter, und wird \[ F_n(x)=\sum^\infty_{s=0}\;\frac{\varGamma(\alpha_1+n-s)\dots \varGamma(\alpha_{p+1}+n-s)}{s!\varGamma(\beta_1+n-s)\dots \varGamma(p_{p-1}+n+s)\varGamma(\beta_p+2n+s)}\;x^{n+s} \] gesetzt, und ist \(f(x) = f(y+iz)\) innerhalb der Kurve \[ (y^2+z^2)^2+\frac{y^2+z^2}{r(r=1)}\;y-\frac{y^2}{r(r=1)}-\frac{(2r+1)^2z^2}{4r^2(r+1)^2}=0\quad (r>0) \] regulär, so ist \(f(x)\) dort in eine Reihe der Form \[ f(x)=\textstyle\sum A_nF_n(x) \] entwickelbar. – Es handelt sich dann weiter um Entwicklungen regulärer Funktionen in Reihen von den genannten und von noch komplizierteren Formen. Zahlreiche durchgeführte Beispiele liefern zum Teil interessante Nebenresultate.

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Full Text: DOI Numdam EuDML