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Über den natürlichen Dimensionsbegriff. (German) JFM 44.0555.01
Man definierte bisher die Dimensionenzahl einer Mannigfaltigkeit als die Anzahl der Parameter, durch die sich eine Umgebung irgendeines ihrer Punkte umkehrbar eindeutig und stetig darstellen läßt. Diese Definition ist berechtigt auf Grund des von Brouwer in Math. Ann. 70 (F. d. M. 42, 416 (JFM 42.0416.*), 1911) gegebenen Beweises für den Satz von der Invarianz der Dimensionenzahl. Doch hat schon Poincaré eine andere Definition zu geben versucht, die unserer intuitiven Raumanschauung mehr Rechnung trägt. Dies wird hier von Brouwer durchgeführt.
\(\pi\) sei eine “Normalmenge” (Fréchet) und \(\pi_1, \varrho, \varrho'\) seien drei in \(\pi\) abgeschlossene fremde Teilmengen von \(\pi. ``\pi \) besitzt den allgemeinen Dimensionsgrad \( n\)”, wenn für jede Wahl von \(\varrho\) und \(\varrho'\) eine diese Mengen trennende Menge \(\pi_1\) vom allgemeinen Dimensionsgrad \( n -1\) existiert. Damit ist eine rückläufige Definition gegeben, der man aber auch eine von der Rekursion unabhängige Form geben kann.
Gibt es zu einem Punkt \( P \) von \(\pi\) Umgebungen vom allgemeinen Dimensionsgrad \(m(m\leqq n)\) und keine Umgebung von niedrigerem Grade, so sagt Brouwer, daß \(P\) in \(\pi\) den Dimensionsgrad \(m\) besitzt. Dann gilt der “Dimensionssatz”: Eine Mannigfaltigkeit vom allgemeinen Dimensionsgrad \( n \) hat in jedem ihrer Punkte den gleichen Dimensionsgrad \( n. \) Da die neue Dimensionsdefinition gegenüber den Transformationen der Analysis situs invariant ist, so ist in dem Dimensionssatz der Satz von der Erhaltung der Dimensionenzahl mitenthalten.
Beim Beweise des Dimensionssatzes stützt sich Brouwer auf den von ihm (Math. Ann. 71; F. d. M. 42, 417 (JFM 42.0417.*), 1911) eingeführten Begriff des “Abbildungsgrades”. Ferner wird hierbei ein Hülfssatz benutzt, den auch Lebesgue bei seinem Beweisansatz (Math. Ann. 70) zum Theorem von der Erhaltung der Dimensionszahl verwendet hat. Doch zeigt Brouwer, daß der Beweis des Hülfssatzes bei Lebesgue eine Lücke aufweist.

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Full Text: Crelle EuDML