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Über die Randwertaufgabe der Strahlungstheorie und asymptotische Spektralgesetze. (German) JFM 44.1053.02
In einer vor kurzem erschienenen Abhandlung zur Theorie der Hohlraumstrahlung (J. für Math. 141, 163-181; F. d. M. 43, 1063 (JFM 43.1063.*), 1912) hat sich der Verf. mit der Integration der Differentialgleichung \(\varDelta {\mathfrak U} + \lambda {\mathfrak U}= 0\) in einem räumlichen Gebiete \(J\) beschäftigt, wenn an dem Rande \( O \) entweder die Bedingungen \[ 1^\circ ) \quad {\mathfrak U}\text{ normal, } \frac {\partial {\mathfrak U}}{\partial n} \text{ tangential,} \] oder \[ 2^\circ ) \quad {\mathfrak U}\text{ tangential, } \frac {\partial {\mathfrak U}}{\partial n} \text{ normal,} \] unter \( n \) die Innennormale verstanden, vorgeschrieben sind. Die vorstehenden Randwertanfgaben sind nun, worauf der Verf. seither aufmerksam geworden ist, nicht diejenigen, die in der Theorie der Hohlraumstrahlung maßgebend sind. Es handelt sich hier vielmehr darum, die Differentialgleichung \(\varDelta {\mathfrak E} + \lambda {\mathfrak E} =0\) unter den Oberflächenbedingungen \(\mathfrak E\) normal, div \(\mathfrak E\) = 0 zu integrieren. Die Behandlung dieses Problems bildet den Inhalt der vorliegenden Arbeit.
Es zeigt sich, daß es abzählbar unendlich viele Lösungen \(\lambda = \sigma_i, {\mathfrak E} = {\mathfrak E}_i (x, y, z) \) gibt. Alle \(\sigma_i\) sind, sofern \( O\) aus einer zusammenhängenden Fläche besteht, positiv. (Hat \(J\) aber \(h + 1\) Randkomponenten, so sind \(h\) Eigenwerte gleich Null.)
Unterhalb einer beliebigen Schranke liegen mindestens dreimal so viel \(\sigma_i\) als Eigenwerte des Problems \(\varDelta u + \lambda u =0, u =0\) auf \(J.\) Es gilt das asymptotische Gesetz \[ \lim_{n=\infty} \frac{\sigma_n}{n^{\frac 23}} = \left(\frac{2\pi^2}{J}\right)^{\frac 23}, \] unter \(J\) das Volumen des Gebietes \(J\) verstanden.

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Full Text: DOI Crelle EuDML