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Bemerkung über den Inhalt von Punktmengen. (German) JFM 45.0128.05

Nach Borel und Lebesgue soll jeder beschränkten Menge \(A\) des \(n\)-dimensionalen euklidischen Raumes \(E_n\) als Inhalt eine nichtnegative Zahl \(f(A)\) unter den Bedingungen zugeordnet werden: (\(\alpha\)) Der Einheitswürfel hat den Inhalt 1. (\(\beta\)) Kongruente Mengen haben denselbe Inhalt. (\(\gamma\)) Es ist \(f(A+B)=f(A)+f(B)\). (\(\delta\)) Es ist \(f(A+B+C+\dots)=f(A)+f(B)+f(C)+\dots\) für eine beschränkte Summe von abzählbar vielen Summanden. Die von Lebesgue gegebene konstruktive Inhaltsdefinition erfüllt zwar diese Bedingungen, aber sie ordnet Inhalte nicht allen (beschränkten) Mengen zu, sondern nur den meßbaren. Die Frage bleibt offen, ob das durch die Forderungen (\(\alpha\)) bis (\(\delta\)) gestellte Inhalsproblem in der Ausdehnung auf alle beschränkten Mengen überhaupt lösbar ist oder nicht. Der Verf. zeigt, daß unter diesen Forderungen eine Inhaltsbestimmung keinesfalls möglich ist. Selbst wenn die Forderung (\(\delta\)) fallen gelassen wird, auf deren Nichterfüllbarkeit der erste Beweis beruht, wird weiter bewiesen, daß selbst unter Einschränkung auf die Bedingungen (\(\alpha\)), (\(\beta\)), (\(\gamma\)) das Problem unlösbar ist. “Das Inhaltsproblem selbst ohne die Lebesguesche Forderung (\(\delta\)) ist für die Kugel und für den drei- oder mehrdimensionalen Raum nicht lösbar. Für den Kreis, die gerade Linie und die Ebene muß die Frage nach einer den Bedingungen (\(\alpha\)), (\(\beta\)), (\(\gamma\)) genügenden Inhaltsbestimmung offen bleiben.”

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References:

[1] Vgl. H. Lebesgue, Leçons sur l’intégration *Paris 1904), S. 103. Wir bezeichnen eine Summe von Mengen nur dann mitA+B+..., wenn diese Mengen paarweise keinen Punkt gemein haben.
[2] A. Schoenflies, Entwickelung der Mengenlehre (Leipzig und Berlin 1913), S. 374, wo außer weiteren Beispielen von E. B. van Vleck und Lebesgue auch das in Text folgende von mir mitgeteilt ist.
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