×

zbMATH — the first resource for mathematics

Über ganze transzendente Zahlen. (German) JFM 45.0163.01
Das Problem der ganzen transzendenten Zahlen erfordert die Konstruktion eines Bereiches \(\mathfrak S\) von folgenden Eigenschaften: 1. \(\mathfrak S\) ist ein Integritätsbereich. d. h. \(\mathfrak S\) ist den drei ersten Grundoperationen gegenüber invariant. 2. Durch Quotientenbildung erhält man aus \(\mathfrak S\) den Körper \(K\) aller reellen und komplexen Zahlen. 3. \(\mathfrak S\) enthält den von allen ganzen algebraischen Zhlen gebildeten Integritätsbereich. 4. \(\mathfrak S\) enthält keine gebrochene algebraische Zahl. – Die Konstruktion eines derartigen Bereiches war bisher nicht gelungen. Zermelo gelingt es nun, unter Verwendung des Wohlordnungssatzes, einen derartigen Bereich zu konstruieren. Dazu legt Verf. eine Wohlordnung \(\Omega\) des Körpers \(K\) zugrunde und definiert mit ihrer Hülfe eine “algebraische Basis” für \(K\), d. h. ein System \(H\) von Zahlen \(\eta\), zwischen denen keine algebraische Beziehung mit rationalen Koefizienten besteht, die aber alle übrigen Zahlen algebraisch aus zudrücken gestatten. Dann wird gezeigt: Jede Zahl aus \(K\) genügt einer bis aufs Vorzeichen eindeutig bestimmten Gleichung, der: “Hauptgleichung”. Sie ist von der Form \(C_0x^n+C_1x^n+\cdots+C_n=0\), worin die Koeffizienten \(C_i\) ganze ganzzahlige Funktionen der Basiszahlen \(\eta\) sind. Die Gleichung ist dadurch charakterisiert, daß sie im Körper \(R_{\eta}\) irreduzibel und im Integritätsbereich \(J_{\eta}\) primitiv ist; oder auch durch folgende Bedingungen: 1. \(n\) ist minimal; 2. \(C_0\) hat bei minimalem \(n\) bezüglich der \(\eta\) minimale Dimension \(m\); 3. bei minimalem \(m\) und \(n\) hat \(C_0\) eine kleinste Summe der absoluten Beträge der Koeffizienten. – Hierbei spielt der Gaußische Satz über primitive Funktionen eine wichtige Rolle. Eine Zahl \(\alpha\) heiß t dann \(\eta\)-ganz, wenn in ihrer Hauptgleichung \(C_0=\pm 1\) ist. Genügt \(\alpha\) irgendeiner Gleichung mit Koeffizienten, deren höchster \(=\pm 1\) und deren andere ganze ganzzahlige Funktionen der \(\eta\) sind, so ist \(\alpha\) ganz, wie gezeigt wird. Die \(\eta\)-ganzen Zahlen bilden einen Integritätsbereich \(\mathfrak S_\eta\), der alle ganzen algebraischen Zahlen, aber keine gebrochenen algebraischen Zahlen enthält, und aus dem durch Quotientenbildung der Körper \(K\) hervorgeht. Somit ist \(\mathfrak S_\eta\) ein Bereich \(\mathfrak S\) von den geforderten Eigenschaften. – Die Eigenschaft einer transzendenten Zahl, \(\eta\)-ganz zu sein, ist nichts der Zahl Eigentümliches, vielmehr abhängig von der Wahl der Wohlordnung \(\Omega\).

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI Link EuDML
References:
[1] Hierüber vgl. H. Blumberg, Arch. Math. Phys. (3) 20, p. 53–57.
[2] G. Hamel, Eine Basis aller Zahlen und die unstetigen Lösungen der Funktionalgleichungf(x+y)=f(x)+f(y). Math. Ann. 60, S. 459, wo es sich aber nur umlineare Beziehungen handelt. · JFM 36.0446.04
[3] H. Lebesgue, Sur les transformations ponctuelles transformant les plans en plans. Atti Ac. Torino 1906–1907.
[4] E. Zermelo, Beweis, daß jede Menge wohlgeordnet werden kann. Math. Ann. 59, S. 514. Derselbe, Neuer Beweis für die Möglichkeit der Wohlorduung. Math. Ann. 65, S. 107. · JFM 35.0088.03
[5] Vgl. H. Weber, Lehrbuch der Algebra, kleine Ausgabe, § 20.
[6] H. Weber, a. a. O. Lehrbuch der Algebra, kleine Ausgabe, § 20, 5. · JFM 43.0143.01
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. It attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming the completeness or perfect precision of the matching.