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Grundlagen der Vektor- und Affinoranalysis. (German) JFM 45.0190.03
Leipzig 1914, B. G. Teubner. VIII + 266 S. \(8^{\circ}\) (1914).
Der Verf. hat sich die Aufgabe gestellt, die geometrischen Größen, die in der Vektoranalysis auftreten, auf Grund des gruppentheoretischen Prinzips zu untersuchen, das von F. Klein aufgestellt worden ist und das so lautet: Alle Geometrie ist Invariantentheorie einer Gruppe; hinsichtlich der zugrunde zu legenden Gruppe hat man in weitem Umfange freie Wahl.
Er gliedert seinen Stoff in sechs Kapitel. Im ersten wird gezeigt, wie man für die Größen in einem dreidimensionalen Punkt unter Zugrundelegung der Gruppe der Drehungen zu einem assoziativen System gelangt, das sämtliche bisher bekannten Systeme umfaßt. Die geomertische Bedeutung dieses Systems und seine Beziehungen zur Quaternionentheorie zur Vektoranalysis und zur Ausdehnungslehre werden besprochen und die Hauptpunkte des Streites der verschiedenen Schulen klargelegt.
Im zweiten Kapitel wird dasselbe Verfahren zur Bildung der Analysis bis zur zweiten Ordnung, der Affinoranalysis, angewandt. Zu den Skalaren und Verktoren treten Größen zweiter Ordnung, mit fünf Einheiten, Deviatoren, die sich zu den allgemeinsten Größen, den Affinoren, zusammensetzen. Die Hauptmultiplikation zerfällt in drei Grundmultiplikationen, die skalare, die vekorische und eine neue, die deviatorische. Weiter wird der Weg zur Ableitung der Systeme höherer Ordnung angegeben. Dabei zeigt sich, wie sämtliche Analysen eine einzige zusammengehörige und durchgehende Reihe bilden, deren erste die Vektoranalysis ist, allerdings mit der Abänderung, daß \(e_1\cdot e_1=-1\) statt \(+1\) gewählt wird.
Im dritten Kapitel werden die Rechenregeln der Affinoranalysis von Koordinaten freigemacht. Nach Festlegung der Begriffe der affinorischen und dyadischen Multiplikation werden die verschiedenen Produkte von zwei, drei und vier Vektoren angegeben.
Das vierte Kapitel ist der Dyadenrechnung, das fünfte der Infinitesimalrechnung gewidmet. Dabei ergibt sich eine koordinatenfreie Definition des Nablaoperators. Bei den Vektorfeldern zeigt sich der Vorteil des Minuszeichens in den Regeln der Vektoranalysis, da nur dieses eine vollkommen symmetrische Formulierung ermöglicht.
Im sechsten Kapitel wird an einigen Beispielen gezeigt, wie sich die Affinoranalysis in der Praxis handhaben läßt. Als Beispiele werden herangezogen die Bewegung starrer Körper, die Elastizitätslehre des allgemeinen isotropen Mediums, die elektromagnetischen Erscheinungen und die Vektordarstellung periodischer Erscheinungen.
Es muß anerkannt werden, daß der Verf. eine bedeutsame Arbeit geleistet hat dadurch, daß seine Entwicklungen zu einer rationellen Einteilung der geometrischen Gebilde führen, insbesondere wohl dadurch, daß die bei der Durchführung des Kleinschen Prinzips hervorkommenden Gebilde höherer Art in systematischer Vollständigkeit aufgezählt werden. Ob er aber den Zweck, den er auch noch erreichen will, die Beilegung des Streites zwischen den Quaternionisten, den Bivektorianern Graßmannscher Schule und den Monovektorianern Gibbsscher Schule, wirklich erreicht hat?