×

Quartic curves modulo 2. (English) JFM 45.0211.02

Ist \(Q\) eine ternäre biquadratische Form \(\mod 2\), so wird \(Q\) in die beiden Aggregate \(E\) und \(O\) gespalten, wo \[ \begin{aligned} &E=ax^4+by^4+cz^4+jx^2y^2+kx^2z^2+ly^2z^2\;&O=dx^3y+exy^3+fx^3z+gxz^3+hy^3z+iyz^3+mx^2yz+nx^2yz+pz^2xy,\end{aligned} \] wo also in \(E\) nur gerade Exponenten auftreten, dagegen in \(O\) jedes Glied mindestens einen ungeraden Exponenten aufweist.
Unter “abgeleiteten” Punkten sind solche zu verstehen, für die die drei ersten partiellen Ableitungen von \(Q\) verschwinden: diese Punkte hängen nur von \(O\), nicht aber von \(E\) ab. Andererseits hängen die Doppeltangenten der Kurve \(Q=0\) nur von \(E\) ab.
Irgend zwei Doppeltangenten schneiden sich stets in einem abgeleiteten Punkte, und umgekehrt. Weiterhin werden die Koeffizienten von \(Q\) nebst den Substitutionskoeffizienten als ganzzahlig \(\mod 2\) vorausgesetzt. Gibt man den sechs Koeffizienten in \(E\) sukzessive die Werte 0,1, so erhält man ein “System” von \(2^6\) Formen \(Q\).
Das Hauptergebnis, daß ein jedes solches System äquivalent ist mit einem einzigen der 14 Systeme \(E+O_i(O_0=0, (i=1, 2, \dots, 13)\), wo die \(O_i\) geeignet ausgewählte biquadratische Formen sind, deren Doppeltangenten sich sämtlich explizite angeben lassen. Diese 14 Systeme lassen sich aber auch theoretisch je durch gewisse Invarianten charakterisien.
Um über die Äquivalenz zweier Formen ein- und desselben Systems zu entscheiden, werden die “Automorphe” des Systems untersucht, d. h. die reellen linearen Transformationen, die das System ungeändert lassen; dies führt dann von selbst auf die invariantive Klassifikation der Formen eines System.
Im ganzen ergeben sich so zunächst 203 nichtäquivalente Typen von eigentlichen biquadratischen ternären Formen, die keinen reellen Linearfaktor besitzen. Von diesen haben 8 keinen reellen Punkt, eine hat 7 und sechs haben 6 reelle Punkte. Indessen lassen sich noch 11 Formen als reduzibel erweisen, so daß 192 nichtäquivalente Typen irreduzibler Formen mod 2 verbleiben.
Eine Anzahl numerischer Repräsentanten von besonderem Interesse wird einzeln diskutiert.

PDFBibTeX XMLCite